[論文レビュー] Ranks and Pseudo-Ranks - Paradoxical Results of Rank Tests -

Edgar Brunner, Frank Konietschke+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Multidisciplinary Science and Engineering Research参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、不均衡なデザイン下で古典的ランク基準検定にあり得るパラドキシカルな結果を特定し、固定された母集団分布のもとでもサンプルサイズの変化に伴い検定意思が逆転する可能性があることを示している。本研究では、ランクの代わりに擬似ランク（pseudo-ranks）を用いることで、これらの不整合を解消する手法を提案しており、擬似ランクは非集中性を安定化させ、因子設計およびサブグループ設計におけるノンパラメトリック効果の有意な推論と信頼区間を可能にする。

ABSTRACT

Rank-based inference methods are applied in various disciplines, typically when procedures relying on standard normal theory are not justifiable, for example when data are not symmetrically distributed, contain outliers, or responses are even measured on ordinal scales. Various specific rank-based methods have been developed for two and more samples, and also for general factorial designs (e.g., Kruskal-Wallis test, Jonckheere-Terpstra test). It is the aim of the present paper (1) to demonstrate that traditional rank-procedures for several samples or general factorial designs may lead to paradoxical results in case of unbalanced samples, (2) to explain why this is the case, and (3) to provide a way to overcome these disadvantages of traditional rankbased inference. Theoretical investigations show that the paradoxical results can be explained by carefully considering the non-centralities of the test statistics which may be non-zero for the traditional tests in unbalanced designs. These non-centralities may even become arbitrarily large for increasing sample sizes in the unbalanced case. A simple solution is the use of socalled pseudo-ranks instead of ranks. As a special case, we illustrate the effects in sub-group analyses which are often used when dealing with rare diseases.

研究の動機と目的

• 古典的ランク検定が、標準的な等分散正規モデルのもとでも、サンプルサイズが不均衡な場合に、検定意思が逆転するようなパラドキシカルな結果を示す可能性があることを示すこと。
• これらのパラドックスの根本的要因が、不均衡なデザインによる重みの不均衡に起因するランク基準統計量の非ゼロかつ増大する非集中性に起因することを説明すること。
• 単調変換に対して不変性を保ち、固定された母集団効果のもとで一貫した非集中性を確保するため、擬似ランクを解決策として提案すること。
• 擬似ランクを用いて非パラメトリック効果サイズの信頼性ある推定を可能にする信頼区間を構築することで、ランク検定が主に仮説検定に特化しているという限界を克服すること。

提案手法

• すべてのグループ間のペアワイズランクの重み付き平均として計算される擬似ランクに、従来のランクを置き換える。これにより、ノンパラメトリック効果の重みなし推定が保証される。
• 目的パラメータとして非パラメトリック相対効果 ψ を使用し、これは一つのグループから無作為に選ばれた観察値が別のグループの観察値を上回る確率として定義される。擬似ランクは、この ψ の不偏推定値を提供する。
• ランク、擬似ランク、および平均に基づく統計量の非集中パラメータを導出し、サンプルサイズの不均衡が進行するに従ってその挙動を比較する。
• ランク基準統計量の非集中性は不均衡に伴い増大するが、擬似ランクおよび平均基準統計量の非集中性は、帰無仮説のもとで常に正確にゼロのまま維持されることを示す。これにより、安定した推論が可能になる。
• 統計量の漸近的多変量正規分布を用い、特に √N c_p^p が N とともに増大することに起因するランク基準手順における分布のシフトに焦点を当てる。
• 実用的な因子設計への応用を可能にするために、Rパッケージ rankFD に擬似ランク手順を実装し、重みなし効果オプションを採用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ランク検定は、標準正規モデルのもとで等分散性が保たれていても、サンプルサイズが不均衡な場合に、検定意思が逆転するようなパラドキシカルな結果を示す可能性があるか？
• RQ2 ノンパラメトリックランク検定が不均衡デザインで一貫性のない挙動を示す理由は何か？ その背後にある統計的メカニズムは何か？
• RQ3 サンプルサイズの不均衡が進行する中で、非集中パラメータを安定化させることにより、擬似ランクがランク検定のパラドキシカルな挙動を是正するか？
• RQ4 ランク検定が主に仮説検定に特化しているという制限を克服するため、非パラメトリック効果サイズの意味のある信頼区間を擬似ランクを用いて信頼性を持って構築できるか？
• RQ5 サブグループ分析において、擬似ランクは、対比較または層別ランクよりも、パラドキシカルな結果を回避する点で優れているか？

主な発見

• 2×2要因設計において、ある層のサンプルサイズを増加させつつサブグループサイズを固定した場合、ランク基準統計量の非集中パラメータ √N c_p^p は、N が 100 から 2000 に増加するに従い、0 から 12.89 に増大する。これは、漸近的分布のシフトが進行することを示している。
• それに対して、擬似ランクおよび平均基準統計量の非集中パラメータ c_ψ^p および c_μ^p は、サンプルサイズの不均衡に関係なく、正確にゼロのまま維持され、安定した推論が保証される。
• パラドキシカルな挙動は、ランク基準統計量の非集中性が、不均衡なサンプルサイズに伴いますます不均衡になる重み付きノンパラメトリック相対効果に依存していることに起因する。
• 擬似ランクは、相対効果の重みなし推定を用いることで、サンプルサイズの不均衡に依存する依存性を排除し、誤った非集中性の増大を防ぐ。
• 擬似ランクの使用により、ランク検定が効果推定を目的としていないという長年の制限を克服し、非パラメトリック効果の有効な信頼区間の構築が可能になる。
• 提案手法は、重みなし効果オプションを備えた R パッケージ rankFD に実装されており、因子設計およびサブグループ設計への実用的応用を可能としている。