[论文解读] Ranks for families of all theories of given languages

N. D. Markhabatov, S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

semigroups and automata theory被引用 7

一句话总结

本文为任意语言上的完全一阶理论族引入了秩与次数系统，将莫雷秩推广至理论族的复杂性度量。研究证明：当且仅当语言仅包含有限多个0元和一元谓词及常量时，该秩为有限；否则秩为无限，从而刻画了完全可分理论族，并将该框架应用于具有固定有限或无限基数模型的理论族。

ABSTRACT

For families of all theories of arbitrary given languages we describe ranks and degrees. In particular, we characterize (non-)totally transcendental families. We apply these characterizations for the families of all theories of given languages, with models of given finite or infinite cardinality.

研究动机与目标

• 为任意语言上的完全一阶理论族定义并刻画秩与次数，将莫雷秩推广至理论族的设定。
• 基于底层语言的结构，确定此类理论族为（非）完全可分的条件。
• 将秩-次数框架应用于具有固定有限或无限基数模型的理论族，分析其复杂性。
• 建立理论族的秩与关联布尔代数的康托尔–本迪克斯通秩之间的联系，连接模型论不变量与拓扑不变量。

提出的方法

• 通过基于高秩子族中存在无穷多两两不一致句子的无限层次结构，定义理论族的秩函数 RS(·)。
• 引入 e-极小性概念，以确保唯一聚点并控制逼近族的结构。
• 利用与理论族关联的超原子布尔代数的康托尔–本迪克斯通秩与次数，刻画 RS(·) 与 ds(·)。
• 通过在无穷多个谓词、常量或函数上独立赋值，构造无穷大的2叉树句子结构，以证明特定情况下的无限秩。
• 利用秩函数的单调性比较子族（如具有有限或无限模型的理论）之间的秩。
• 利用关于完全理论拓扑空间中孤立与非孤立类型的结果，分析秩与次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种语言 Σ 的条件下，Σ 的所有完全理论 TΣ 的族是完全可分的，即具有有限秩？
• RQ2 当语言 Σ 的何种结构特征导致所有完全理论的族具有无限秩？
• RQ3 具有固定有限或无限基数模型的理论族的秩与次数如何依赖于语言的语言符号？
• RQ4 理论族的 RS-秩与关联布尔代数的康托尔–本迪克斯通秩之间有何关系？
• RQ5 能否在具有无穷多个谓词、常量或函数符号的语言中构造无穷大的2叉树句子结构，以证明无限秩？

主要发现

• 所有完全理论的族具有有限秩，当且仅当语言 Σ 仅包含有限多个0元和一元谓词及有限多个常量符号。
• 若语言 Σ 包含任意二元或更高元谓词、任意一元或更高元函数符号，或无穷多个谓词、常量或函数符号，则所有完全理论的族具有无限秩。
• 对任意语言 Σ，所有具有 n 元模型的完全理论族的秩为0，当且仅当 Σ 有限，或 n=1 且 Σ 中仅有有限多个谓词；否则秩为无限。
• 所有具有无限模型的完全理论族具有有限秩，当且仅当 Σ 有限且仅包含0元和一元谓词及常量；否则秩为无限。
• 理论族的 RS-秩与关联布尔代数的康托尔–本迪克斯通秩一致，而次数对应于导出层次中最大秩点的数量。
• 在完全可分族中，单个理论的秩由模型中关于一元谓词的无限部分数量决定。