[论文解读] Rapid Mixing of Glauber Dynamics up to Uniqueness via Contraction

Zongchen Chen, Kuikui Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 20被引用 17

一句话总结

本文建立了一个统一框架，将树递归收缩（用于相关衰减和多项式插值）与一般2自旋系统中Glauber动力学的快速混合联系起来。证明了若某个势函数能确保树递归收缩，则在唯一性阈值以内，Glauber动力学以多项式时间快速混合，从而统一了反铁磁与铁磁模型中的算法方法。

ABSTRACT

For general antiferromagnetic 2-spin systems, including the hardcore model and the antiferromagnetic Ising model, there is an $\mathsf{FPTAS}$ for the partition function on graphs of maximum degree $Δ$ when the infinite regular tree lies in the uniqueness region by Li et al. (2013). Moreover, in the tree non-uniqueness region, Sly (2010) showed that there is no $\mathsf{FPRAS}$ to estimate the partition function unless $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$. The algorithmic results follow from the correlation decay approach due to Weitz (2006) or the polynomial interpolation approach developed by Barvinok (2016). However the running time is only polynomial for constant $Δ$. For the hardcore model, recent work of Anari et al. (2020) establishes rapid mixing of the simple single-site Markov chain known as the Glauber dynamics in the tree uniqueness region. Our work simplifies their analysis of the Glauber dynamics by considering the total pairwise influence of a fixed vertex $v$ on other vertices, as opposed to the total influence on $v$, thereby extending their work to all 2-spin models and improving the mixing time. More importantly our proof ties together the three disparate algorithmic approaches: we show that contraction of the tree recursions with a suitable potential function, which is the primary technique for establishing efficiency of Weitz's correlation decay approach and Barvinok's polynomial interpolation approach, also establishes rapid mixing of the Glauber dynamics. We emphasize that this connection holds for all 2-spin models (both antiferromagnetic and ferromagnetic), and existing proofs for correlation decay or polynomial interpolation immediately imply rapid mixing of Glauber dynamics. Our proof utilizes that the graph partition function divides that of Weitz's self-avoiding walk trees, leading to new tools for analyzing influence of vertices.

研究动机与目标

• 统一分析三种主要算法方法——相关衰减、多项式插值与马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）——在2自旋系统中的应用。
• 在所有2自旋模型（包括反铁磁与铁磁情形）的树唯一性区域内，建立Glauber动力学的快速混合性质。
• 证明通过合适的势函数实现树递归收缩，可保证Glauber动力学的多项式混合时间。
• 通过使用基于顶点的总成对影响分析，将先前针对硬核模型的结果推广至一般2自旋系统，简化影响分析。
• 证明现有相关衰减或多项式插值的证明，通过相同的势函数框架，可立即推出Glauber动力学的快速混合。

提出的方法

• 引入一个通用的$(\alpha, c)$-势函数框架，用于分析2自旋系统中树递归的收缩性质。
• 定义固定顶点$v$对其他顶点的总成对影响，替代以往分析影响对$v$的模式，以简化分析。
• 利用图的划分函数可整除Weitz自避免行走树的划分函数这一事实，推导出影响分析的新工具。
• 将势函数$\Psi$上的收缩条件应用于谱间隙分析，以界定向Glauber动力学的混合时间。
• 证明若$\Psi$满足收缩与有界性条件，则Glauber动力学的混合时间为$O(n^{2+2c/\alpha})$。
• 证明当$\sqrt{\beta\gamma} \leq \frac{\Delta-2}{\Delta}$且$\gamma > 1$时，隐式势函数$\Psi$是一个通用$(\alpha, c)$-势函数，其中$\alpha \geq \delta/2$且$c \leq 18$（当$\beta = 0$时，$c \leq 4$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将相关衰减与多项式插值中使用的树递归收缩，与Glauber动力学的快速混合直接关联？
• RQ2 顶点对其他顶点的总成对影响是否提供了一个更简单且更通用的框架，用于分析Glauber动力学的混合时间？
• RQ3 是否能使用同一势函数，既保证相关衰减或插值的效率，又能保证Glauber动力学的快速混合？
• RQ4 在树唯一性区域内，一般2自旋系统的Glauber动力学混合时间是多少？其与唯一性间隙$\delta$的关系如何？
• RQ5 这些结果如何推广至反铁磁与铁磁2自旋模型，包括硬核模型与伊辛模型？

主要发现

• 当存在通用$(\alpha, c)$-势函数时，一般2自旋系统的Glauber动力学混合时间为$O(n^{2+2c/\alpha})$。
• 当$\sqrt{\beta\gamma} \leq \frac{\Delta-2}{\Delta}$且$\gamma > 1$时，隐式势函数$\Psi$是一个通用$(\alpha, c)$-势函数，其中$\alpha \geq \delta/2$且$c \leq 18$，优于先前的界。
• 当$\beta = 0$时，相同势函数给出$c \leq 4$，表明对硬核模型的混合时间界更紧。
• 恒等函数$\Psi(y) = y$在特定条件下是铁磁2自旋系统的$(\alpha, c)$-势函数，其中$\alpha = \Theta(\delta)$且$c \leq O(1)$，导致混合时间为$O(n^{2+c/\delta})$。
• 对于满足$\sqrt{\beta\gamma} \geq \frac{\Delta}{\Delta-2}$且$\lambda$有界的铁磁系统，混合时间为$O(n^C)$，其中常数$C$依赖于$\beta, \gamma, \lambda, \Delta$。
• 该框架统一了现有的相关衰减与插值结果：任何通过势函数证明的高效相关衰减或插值，均可立即推出Glauber动力学的快速混合。