[論文レビュー] Rastall's gravity equations and Mach's Principle

V. Majernı́k, Lukáš Richterek|ArXiv.org|Oct 13, 2006

Computational Physics and Python Applications参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、エネルギー運動量テンソルの発散がゼロでないことを許容する自由パラメータ α を導入することでアインシュタインの場の運動方程式を一般化するラスタルの修正重力理論を調査する。ラスタルの式は、重力源項が計量や重力ポテンシャルに依存する形でマッハの原理を組み込む。特に、α ≠ 1 のニュートン的極限では、質量密度がポテンシャルに依存するようになる。これは、標準的一般相対性理論よりもより「マッハ的」な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Rastall generalized Einstein's field equations relaxing the Einstein's assumption that the covariant divergence of the energy-momentum tensor should vanish. His field equations contain a free parameter alpha and in an empty space, i.e. if T_{μν}=0, they reduce to the Einstein's equations of standard general relativity. We calculate the elements of the metric tensor given by Rastall' equations for different αassuming that T_{μν} to be that of a perfect fluid and analyse these model solutions from the point of view of Mach's principle. Since the source terms in Rastall's modified gravity equations include the common energy-momentum tensor T_{μν} as well as the expressions of the form (1-α)g_{μν}T/2, these source terms depend on metric determined by the mass and momentum distribution of the external space. Likewise, in the classical limit, the source term of the corresponding Poisson equation for α eq 1 depends on the gravitational potential in the sense of Mach's principle.

研究の動機と目的

• ラスタルの修正重力方程式が、慣性質量が外部物質の分布に依存するというマッハの原理の主要な要件を満たすかどうかを評価すること。
• さまざまな α 値に対して、完全流体時空におけるラスタル方程式の計量テンソル解を解析すること。
• ラスタル理論のニュートン的極限を検討し、ポアソン方程式の源項がマッハ的物理学が求めるように重力ポテンシャルに依存するかどうかを特定すること。
• 場の運動方程式の構造を通じて、ラスタル理論と標準的一般相対性理論のマッハの原理との適合性を比較すること。

提案手法

• 自由パrameter α を用いて、ラスタルの場の運動方程式を、標準的なエネルギー運動量テンソル $ T_{\mu\nu} $ と追加項 $ \left(1-\alpha\right)g_{\mu\nu}T/2 $ を明示的に含む形に再定式化する。
• 球対称かつ等方的な完全流体時空に対してラスタル方程式を解き、計量テンソル成分を α の関数として導出する。
• 弱い重力場を仮定し、計量のアンザッツ $ ds^2 = -(1+2\phi)dt^2 + (1-2\phi)(dx^2+dy^2+dz^2) $ を用いて、ラスタル方程式のニュートン的極限を取る。
• 重力ポテンシャル $ \phi $ に依存する源項を持つ修正されたポアソン方程式 $ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ を導出する。α ≠ 1 のとき、質量密度 $ \varrho $ が重力ポテンシャル $ \phi $ に依存することが示され、これはマッハ的行動の特徴である。
• このポテンシャル依存源項の物理的意味を検討し、特に遠くの物質分布が慣性に影響を与えるという考えに焦点を当てる。
• 得られた場の運動方程式を標準的一般相対性理論と比較し、α ≠ 1 に起因する有効質量の変動の物理的解釈を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラスタルの修正重力理論は、周囲の時空の計量やポテンシャルに依存する重力源を満たすというマッハの原理の重要な側面を満たしているか？
• RQ2 α が 1 から異なる際、完全流体時空におけるラスタルの場の運動方程式の解は、一般相対性理論の解とどのように異なるか？
• RQ3 ニュートン的極限において、ラスタル方程式から導かれるポアソン方程式の源項が、マッハ的物理学が求めるように重力ポテンシャルに依存するか？
• RQ4 弱い場において標準ポアソン方程式を回復するという要件が、α の値にどのような制約を課えるか？
• RQ5 源項が時空幾何に依存するという点で、ラスタル理論は一般相対性理論のより「マッハ的」な一般化と見なせるか？

主な発見

• ラスタルの場の運動方程式は、α にかかわらず真空中でアインシュタイン方程式に還元され、一般相対性理論の標準的テストをすべて保持する。
• α ≠ 1 のとき、ラスタル理論のニュートン的極限における源項は $ \varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ となり、質量密度が重力ポテンシャル $ \phi $ に依存することが示され、これはマッハ的行動の特徴である。
• 修正されたポアソン方程式 $ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ は、重力源がポテンシャルに依存することを明示しており、慣性が全体の質量分布に影響を受けることを示唆する。
• 弱い場の領域で標準ポアソン方程式を回復するには、パrameter α が 1 に非常に近い必要があるが、1 からのわずかなずれで星の内部のような強い場の領域では顕著な効果が現れる。
• ラスタル理論は、計量を通じて時空座標に依存する有効源項を導入することで、可変な静止質量の形をとる。これは、遠くの物質によって慣性が決定されるというマッハ的考えと整合する。
• 源項が $ T_{\mu\nu} $ と $ g_{\mu\nu}T $ の両方に依存するというラスタル方程式の構造は、エネルギー運動量テンソルが幾何に依存せず独立に保存される標準的一般相対性理論よりも、マッハの原理とより適合している。