[論文レビュー] Rate of propagation of chaos for diffusive stochastic particle systems via Girsanov transformation

Jean-François Jabir|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Girsanov変換を用いて、経路依存的 McKean-Vlasov 動的を有する拡散型確率粒子系の混沌の明示的で最適な伝播速度を確立する。相互作用カーネルのサブガウス型モーメント制御と指数型 martingale 評価を活用し、有限粒子系とその平均場極限との間の全変動距離において $ O(1/N) $ のレートを導出する。

ABSTRACT

This paper focus on investigating the explicit rate of convergence for the propagation of chaos, in a pathwise sense a family of interacting stochastic particle related to some Brownian driven McKean-Vlasov dynamics. Precisely the McKean form of nonlinearity is concentrated on a path dependent drift component and satisfies a particular sub-gaussian moment control. Such control enables to derive a uniform estimate of the cost in terms of exponential martingale between the particle and its McKean/mean-field limit system which in turn provide an optimal rate of propagation of chaos in terms of the total variation distance. As a by-product, we deepen some recent propagation of chaos results due to Lacker 2018 and provides a partial stochastic interpretation of the entropy control technique introduced in Jabin and Wang 2016.

研究の動機と目的

• 経路依存的 drift を有する相互作用的拡散粒子系における混沌の伝播の明示的で最適な収束速度を導出すること。
• 確率解析的手法を用いて、相互作用構造と収束速度との間の定量的関係を確立すること。
• Jabin と Wang (2018) が提唱したエントロピー制御技術の部分的な確率的解釈を Girsanov 変換を用いて提供すること。
• Lacker (2019) の混沌の伝播に関する最近の結果を、明示的なレートを持つパスワイズフレームワークへと拡張すること。

提案手法

• Girsanov 変換を2段階で適用：まず粒子系を独立同一分布の平均場 SDE のコピーに分離し、次に再び相互作用を復元する。
• 相互作用カーネル $ B $ の2階微分に対するサブガウス型モーメント制御を採用し、一様な指数型 martingale 評価を保証する。
• Carlen と Krée の最適な martingale モーメント不等式を用いて、Radon-Nikodym 微分のモーメントを二次変動の項で上界評価する。
• 伊藤の公式と Malliavin 微積分法の技術を用いて、粒子系と平均場動的の差のパスワイズ推定を導出する。
• N 個の粒子の連合分布に Girsanov 変換を適用し、相互作用を持つ系を i.i.d. プロセスの基準系に変換する。
• Radon-Nikodym 微分の $ L^p $-有界性を確立し、粒子プロセスと平均場プロセスの分布間の全変動距離を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散的で経路依存的な McKean-Vlasov 粒子系のクラスにおける混沌の伝播の明示的レートは何か？
• RQ2 Girsanov 変換を用いて、全変動距離における収束速度の定量的推定をどのように得られるか？
• RQ3 相互作用カーネルの2階微分に対するサブガウス型制御が、最適な $ O(1/N) $ 収束レートをもたらすか？
• RQ4 提案手法は、Jabin と Wang (2018) のエントロピーに基づく制御技術とどのように関係し、解釈されるか？
• RQ5 Girsanov 変換が粒子系全体にわたって一様な推定をもたらすための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、有限粒子系とその McKean-Vlasov 平均場極限との間で、全変動距離において最適な $ O(1/N) $ の収束速度を確立する。
• このレートは、相互作用カーネル $ B $ の2階微分に対するサブガウス型モーメント制御条件のもとで得られ、一様な指数型 martingale 評価が保証される。
• Girsanov 変換は2段階で適用される：まず系を i.i.d. コピーに分離し、次に再び相互作用を復元することで、明確なパスワイズ比較が可能になる。
• 本手法により、Radon-Nikodym 微分の明示的 $ L^p $-有界性が得られ、推定 $ rac{1}{N^p} orm{rac{d^2 B}{dm^2}}^{2p}_{L^ty} $ が得られ、$ O(1/N) $ レートの確認がなされる。
• 結果として、Jabin と Wang (2018) が提唱したエントロピー制御技術の確率的解釈が提供され、Girsanov の測度変換と結びつく。
• 本分析は、有界かつ一様楕円型の拡散成分、および $ d=2m $ の場合のラングジュアン動力学を含む退化拡散に対しても適用可能であり、$ A $ がブロック対角形式にある場合も含む。