[論文レビュー] Rational 6-cycles under iteration of quadratic polynomials

Michael Stoll|ArXiv.org|Mar 19, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、種数4のアーベル多様体に対するBirch and Swinnerton-Dyer予想を仮定して、二次多項式 $x \mapsto x^2 + c$ の反復において、有理数の6周期軌道が存在しないことを条件付きで証明する。動的モジュラー曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ のヤコビアンを用いて、この曲線上のすべての有理点が尖点であることを示し、6周期軌道の非尖点有理解が存在しないことを示している。

ABSTRACT

We present a proof, which is conditional on the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture for a specific abelian variety, that there do not exist rational numbers x and c such that x has exact period N = 6 under the iteration x |-> x^2 + c. This extends earlier results by Morton for N = 4 and by Flynn, Poonen and Schaefer for N = 5.

研究の動機と目的

• 二次多項式 $x \mapsto x^2 + c$ の反復における有理数6周期軌道の非存在を証明し、$N=4$ および $N=5$ の先行結果を拡張すること。
• 有理数6周期軌道をパラメトライズする動的モジュラー曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上の有理点の集合を特定すること。
• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上のすべての有理点が尖点であることを確立し、非尖点有理解が存在しないことを示すこと。
• Birch and Swinnerton-Dyer予想を用いて、$X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ のヤコビアンのモーデル・ヴェイユ群のランクを評価し、Chabauty風の議論を可能にする。
• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ が、標準的予想のもとで、有理点を明示的に計算可能な最初の非特殊（非双曲的、非モジュラー、非シムール型）な種数 $\geq 4$ の曲線であることを示すこと。

提案手法

• 反復 $x \mapsto x^2 + c$ において正確に周期6を持つペア $(x,c)$ をパラメトライズするアフィン曲線 $Y^{{\text{dyn}}}_1(6)$ を、方程式 $\Phi^*_6(x,c) = 0$ を用いて構成する。
• 写像 $x \mapsto x^2 + c$ によって誘導される自己同型 $\sigma$ による商曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6) = X^{{\text{dyn}}}_1(6)/\langle\sigma\rangle$ を定義し、種数4の曲線が得られることを示す。
• 特異点の解消とノイズン多角形の技法を用いて、$X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ の滑らかな射影モデルを計算し、平面モデル $F(u,v) = 0$ を得る。
• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上に10個の有理点を特定し、それらがモーデル・ヴェイユ群 $J(\mathbb{Q})$ 内のトーション自由なランク3部分群 $G$ を生成することを示す。
• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ のヤコビアン $J$ の$L$-級数を高精度（183,997係数）で計算し、関数等式を検証し、$L^{(3)}(J,1) \neq 0$ を確認する。
• 弱いBirch and Swinnerton-Dyer予想を適用：$L^{(3)}(J,1) \neq 0$ であるため、$J(\mathbb{Q})$ のランクはたかだか3以下であり、$G$ は $J(\mathbb{Q})$ の有限指数部分群であることが示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復 $x \mapsto x^2 + c$ において、有理数の6周期軌道が存在するか？
• RQ2 動的モジュラー曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上の有理点の集合は、明示的に特定可能か？
• RQ3 Birch and Swinnerton-Dyer予想は、高種数の動的曲線のヤコビアンのモーデル・ヴェイユ群のランクをどの程度まで評価できるか？
• RQ4 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上のすべての有理点が尖点であるか？ それにより、非尖点有理数6周期軌道は存在しないか？
• RQ5 本稿で用いられた手法は、$N > 6$ の有理数$N$-周期軌道の非存在を示すために一般化可能か？

主な発見

• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ 上のすべての有理点が尖点であるため、6周期軌道の非尖点有理解は存在しない。
• ヤコビアン $J$ のモーデル・ヴェイユ群 $J(\mathbb{Q})$ のランクは、$s=1$ における$L$-級数の3階微分が非ゼロであることから、3以下であることが示唆される。
• 容易に得られる10個の有理点が生成する部分群 $G \subset J(\mathbb{Q})$ はランク3であり、弱いBirch and Swinnerton-Dyer予想を仮定すれば、$J(\mathbb{Q})$ の有限指数部分群である。
• $L$-級数は183,997係数まで計算され、数値的検証により $L^{(3)}(J,1) = 0.83601\dots \neq 0$ であることが確認され、ランクの上限を支持する。
• 曲線 $X^{{\text{dyn}}}_0(6)$ は、標準的予想のもとで、有理点が明示的に計算可能な最初の非特殊（非双曲的、非モジュラー、非シムール型）な種数 $\geq 4$ の曲線である。
• 証明は、$J$ の$L$-級数が正則的かつ関数等式を満たすこと、および $J$ に対する弱いBirch and Swinnerton-Dyer予想が成り立つことの仮定に依存している。