[論文レビュー] Rational approximation of the absolute value function from measurements: a numerical study of recent methods

Ion Victor Gosea, Athanasios C. Antoulas|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、[-1,1]区間における絶対値関数 |x| に対するデータ駆動型有理近似手法—Loewnerフレームワーク、AAAアルゴリズム、およびミニマックス法—の包括的な数値比較を提示する。反復的Loewner手順を導入し、最大誤差を 1e-7 未満に低下させ、理論的最良近似誤差（3.05e-9）に近づけた。関数測定値のみを用いても、収束性と適応性に優れ、優れた性能を示した。

ABSTRACT

In this work, we propose an extensive numerical study on approximating the absolute value function. The methods presented in this paper compute approximants in the form of rational functions and have been proposed relatively recently, e.g., the Loewner framework and the AAA algorithm. Moreover, these methods are based on data, i.e., measurements of the original function (hence data-driven nature). We compare numerical results for these two methods with those of a recently-proposed best rational approximation method (the minimax algorithm) and with various classical bounds from the previous century. Finally, we propose an iterative extension of the Loewner framework that can be used to increase the approximation quality of the rational approximant.

研究の動機と目的

• 絶対値関数 |x| に対する最近のデータ駆動型有理近似手法を評価・比較すること。
• 古典的境界およびミニマックス法と比較して、LoewnerフレームワークとAAAアルゴリズムの性能を評価すること。
• 近似精度を向上させるために、Loewnerフレームワークの反復的拡張を構築・検証すること。
• 閉形式表現にアクセスできない状況でも、関数測定値のみを用いて最大近似誤差を定量化すること。
• |x| に限らず、特にモデル順序低減への応用可能性を示すこと。

提案手法

• Loewnerフレームワークは、Cauchyに類似した補間に基づくデータ駆動型補間手法を用いて、サンプリングされたデータポイントから有理近似を構築する。
• AAAアルゴリズムは、与えられた区間における最大誤差を最小化するように反復的に補間点を選択することで、有理近似を計算する。
• ミニマックス法は、一様誤差を最小化する非線形最適化問題を解くことで、最良の有理近似を計算する。
• 反復的Loewner手順は、最大誤差が生じる場所（正負の両方のx）に新たな測定点を適応的に追加することで、近似を精緻化する。
• 各反復で最大誤差を、[-1,1] 上での | |x| - R(x) | の上界として計算し、収束を許容誤差 ξ = 1e-7 に対して監視する。
• データを左および右の区間に分割するための分割方式を用い、同じ分割モードでは同一のデータセットを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数の測定値のみが利用可能な状況下で、LoewnerフレームワークとAAAアルゴリズムは |x| をどの程度正確に近似できるか？
• RQ2 標準的なLoewner法と比較して、反復的Loewner手順は最大近似誤差をどの程度低減できるか？
• RQ3 データ駆動型有理近似は、|x| に対する理論的最良有理近似誤差にどの程度近づけるか？
• RQ4 データサンプリング戦略およびデータ分割の方法が、最終的な近似品質に与える影響は何か？
• RQ5 反復的Loewner法は、非滑らかまたは非有理関数を含む、制御系応用分野の他の関数へ一般化可能か？

主な発見

• 反復的Loewner手順により、初期状態の最大誤差 1.1240e-04 が11反復後に 9.4873e-08 に低下し、許容誤差 ξ = 1e-07 を下回った。
• 最終的な反復的Loewner近似（次数 (47,48)）の最大誤差は 9.4873e-08 であり、ミニマックス誤差 3.0517e-09 に近づいた。
• ミニマックス法が最も優れた近似誤差（3.0517e-09）を達成し、Stahlの理論的境界（2.8211e-09）に非常に近かった。
• Loewner行列の特異値は急速に減少し、良好な数値的安定性と低ランク近似の可能性を示した。
• 反復的精緻化戦略は、特に x = 0 の近傍および [-1,1] 内の対称点付近の高誤差領域に的確に焦点を当てた。
• AAAアルゴリズムおよび標準的なLoewnerフレームワークも優れた性能を示したが、反復的Loewnerは誤差低減において顕著に優れていた。