[論文レビュー] Rational $D(q)$-quintuples

Goran Dražić|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の二つの要素の積に非ゼロの有理数 q を加えると完全平方数になるような、五つの相異なる非ゼロ有理数の集合である有理数 D(q)-五つ組を調査する。8つの特定の楕円曲線の捩れについての偶性予想を仮定すると、平方自由整数 q のうち少なくとも 99.5% に対して、このような五つ組が無限に存在することを証明している。これは、以前の密度の下界を著しく改善するものである。

ABSTRACT

For a nonzero rational number $q$, a rational $D(q)$-$n$-tuple is a set of $n$ distinct nonzero rationals $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ such that $a_ia_j+q$ is a square for all $1 \leqslant i < j \leqslant n$. We investigate for which $q$ there exist infinitely many rational $D(q)$-quintuples. We show that assuming the Parity Conjecture for the twists of several explicitly given elliptic curves, the density of such $q$ is at least $295026/296010\approx 99.5\%$.

研究の動機と目的

• 平方自由有理整数 q に対して、無限に多くの有理数 D(q)-五つ組が存在する条件を特定すること。
• これまでの 1/2 の閾値を超えて、このような q の密度に関する既知の下界を改善すること。
• Dujella の D(q)-五つ組の構成法を有理関数と楕円曲線を用いて拡張すること。
• これらの五つ組に関連する楕円曲線の二次捩れのランクを推定するために、偶性予想を適用すること。
• 有理数 q ∈ ℤ に対して、関連する楕円曲線のランクが正であるような q の自然密度を計算すること。このときランクが正であれば、無限に多くの D(q)-五つ組が存在する。

提案手法

• Dujella の D(q)-対および D(q)-三つ組に対する一般化を用いて、変数 u に関する有理関数でパrameter化された有理数 D(q(u))-五つ組を構成する。
• Mordell-Weil群のランクが 5 以上であるような、Q(u) 上の曲線 C を、Q(u) 上の楕円曲線 E と双有理同値に定義する。
• E 上の8つの有理点それぞれを、次数 3 または 4 の多項式 PQi(u) に結びつけ、D(q(u))-五つ組の族を導出する。
• 各々の五つ組に対して、q を平方自由整数とするとき、曲線 E(i) の二次捩れ E(i)q を定義する。
• 偶性予想を用いて、根数 W(E(i)q) と E(i)q(Q) のランクを関係づけ、ランクが正であれば無限に多くの有理数 D(q)-五つ組が存在することを示す。
• 根数関数 W(E(i)q) と W(E(i)−q) の周期 Ni を計算し、これらを mod Ni で評価し、8つの曲線全体の結果を統合して、ランクが正であるような q の総体的密度を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方自由整数 q のうち、無限に多くの有理数 D(q)-五つ組が存在するような割合は何か？
• RQ2 標準的予想の下で、既知の 1/2 の閾値を著しく超えるような、このような q の密度を向上させることは可能か？
• RQ3 偶性予想の下で、与えられた楕円曲線の二次捩れのランクが正であるような q ∈ ℤ の自然密度は何か？
• RQ4 局所根数 Wp(E(i)q) は固定された整数を法として q の関数としてどのように振る舞い、その結合周期は何か？
• RQ5 有理点を用いた楕円曲線の構成を体系的に拡張することで、ℚ における多くの q をカバーする D(q(u))-五つ組を構成できるか？

主な発見

• 8つの明示的に与えられた楕円曲線の捩れに関する偶性予想を仮定すると、無限に多くの有理数 D(q)-五つ組が存在する平方自由整数 q の密度は、少なくとも 295026/296010 ≈ 99.5% 以上である。
• この結果は、少なくとも 295026 個の剰余類（mod 394680）に対して成り立ち、このモジュラスにおける平方自由剰余類の 296010 個のうち 99.5% を超える。
• 負の平方自由整数 q に対しては、さらに高い密度が得られる：mod 394680 において、296010 個の剰余類のうち少なくとも 295435 個が、無限に多くの有理数 D(q)-五つ組をもたらす。
• この手法は、Q(u) 上の楕円曲線上の有理点から得られる8つの異なる D(q(u))-五つ組を構成することに依拠しており、それぞれが特殊化によって D(q)-五つ組の族を生じる。
• 根数関数 W(E(i)q) と W(E(i)−q) は、それぞれ Ni を法として周期的であり、これらの周期の最小公倍数が 394680 である。これは、密度結果の全体的なモジュラスを定義する。
• 構成は有効的である：ランクが正であるような各 q に対して、無限に多くの有理数 D(q)-五つ組が存在し、これらは有理関数パrameter化によって明示的に生成可能である。