[論文レビュー] Rational homotopy theory of mapping spaces via Lie theory for L-infinity algebras

Alexander Berglund|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ネルボンチ $L_\infty$-代数に関連するデリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジーの高次ホモトピー群を計算することにより、写像空間の有理ホモトピー論に対するリー理論的枠組みを確立する。主な結果は、$L_\infty$-代数のねじれホモロジーと ∞-群コホロジーのホモトピー群との明示的同型であり、$L_\infty$-モデルのテンソル積、ねじれ、切断を用いて写像空間の成分に対するスーリヴァン・モデルを構成可能にする。

ABSTRACT

We calculate the higher homotopy groups of the Deligne-Getzler infinity-groupoid associated to a nilpotent L-infinity algebra. As an application, we present a new approach to the rational homotopy theory of mapping spaces.

研究の動機と目的

• 有理ホモトピー論の写像空間に対するリー理論的アプローチを、$L_\infty$-代数を用いて開発すること。
• ネルボンチ $L_\infty$-代数に関連するデリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジーの高次ホモトピー群を計算すること。
• マウラー＝カルタンモジュライとホモロジー同型を介して、∞-群コホロジーの同値性を誘導する $L_\infty$-準同型の特徴づけ。
• デリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジー構成を完全 $L_\infty$-代数へ拡張し、この設定において主な結果を一般化すること。
• 有理ホモトピー論における写像空間の連結成分に対する明示的かつ計算可能な $L_\infty$-代数モデルを提供すること。

提案手法

• 論文は、ネルボンチ $L_\infty$-代数 $\mathfrak{g}$ に関連するデリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジー構成 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$ を用いる。これは、dg リー代数に対するデリーニュ群コホロジーの一般化である。
• 高次ホモトピー群 $\pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$ は、明示的同型 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$ を用いて計算され、ここで $\mathfrak{g}^\tau$ はマウラー＝カルタン要素 $\tau$ による $\mathfrak{g}$ のねじれである。
• $\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$ 上の群構造は、キャンベル＝ハウスドルフの公式により定義される。
• ∞-群コホロジー構成は、ネルボンチ $L_\infty$-代数の塔の逆極限として定義される完全 $L_\infty$-代数へ拡張される。
• 主な応用では、$\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}) \simeq \gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$ を用い、ここで $A$ は $X$ の cdga モデル、$L$ は $Y$ の $L_\infty$-モデルであり、$A \hat{\otimes} L$ は $A \otimes L / L_{\geq r}$ の逆極限である。
• ホモロジーが有限型であるとき、$C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$ は、Chevalley-Eilenberg の構成を用いて、写像空間の成分に対するスーリヴァン・モデルとして構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネルボンチ $L_\infty$-代数に関連するデリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジーの高次ホモトピー群をどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 $L_\infty$-準同型が ∞-群コホロジーの同値性を誘導するための条件は何か。
• RQ3 有理ホモトピー型 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ をどのように $L_\infty$-代数を用いてモデル化できるか。
• RQ4 デリーニュ＝ゲツラー ∞-群コホロジー構成は完全 $L_\infty$-代数へ拡張可能か。また、主な結果はこの設定に一般化可能か。
• RQ5 有理ホモトピー論における写像空間の連結成分に対する明示的 $L_\infty$-代数モデルは何か。

主な発見

• 任意の $n \geq 0$ に対して、自然な群同型 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$ が存在し、$\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$ 上の群構造はキャンベル＝ハウスドルフの公式により与えられる。
• $L_\infty$-準同型 $f: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$ が ∞-群コホロジーの同値性を誘導するための必要十分条件は、マウラー＝カルタンモジュライ上で全単射であり、ねじれを施した後、非負の次数でホモロジー同型を誘導することである。
• 有限型のネルボンチ $L_\infty$-代数 $\mathfrak{g}$ に対して、マウラー＝カルタン要素 $\tau$ を含む $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$ の成分は $\gamma_\bullet(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$ にホモトピー同値であり、$C^*(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$ はその成分のスーリヴァン・モデルである。
• $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ は $\gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$ にホモトピー同値であり、ここで $A$ は $X$ の cdga モデル、$L$ は $Y$ の $L_\infty$-モデルであり、$A \hat{\otimes} L$ は $A \otimes L / L_{\geq r}$ の逆極限である。
• 写像 $f: X \to Y_\mathbb{Q}$ がマウラー＝カルタン要素 $\tau$ に対応するとき、任意の $n \geq 0$ に対して $\pi_{n+1}(\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}), f) \cong \mathrm{H}_n((A \hat{\otimes} L)^\tau)$ が成り立ち、$n \geq 1$ では有理ベクトル空間同型、$n = 0$ ではキャンベル＝ハウスドルフによる群同型が成り立つ。
• もし $A \hat{\otimes} L$ が有限型であれば、$C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$ は $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$ の $f$ を含む成分のスーリヴァン・モデルである。