[論文レビュー] Rational points in periodic analytic sets and the Manin-Mumford conjecture

Jonathan Pila, Umberto Zannier|ArXiv.org|Feb 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、p-進的またはモデル理論的アプローチとは異なる、アーケィメデス的アプローチを用いてマンイン＝マフラム予想の新証明を提示する。この証明は、p-最小的構造における有理点数え上げ（ピラ＝ウィルキー）と、ねじれ点の次数に対するマッサーの下界を組み合わせたハイブリッド的手法を用いる。ねじれ点を複素トーラス上の有理点として扱い、解析的幾何学による上界と算術的次数推定による下界を比較することで、アーベル多様体の部分多様体がねじれ点を無限個含むのは、ねじれ点によるアーベル部分多様体の平行移動である場合に限ることを示す。

ABSTRACT

We present a new proof of the Manin-Mumford conjecture about torsion points on algebraic subvarieties of abelian varieties. Our principle, which admits other applications, is to view torsion points as rational points on a complex torus and then compare (i) upper bounds for the number of rational points on a transcendental analytic variety (Bombieri-Pila-Wilkie) and (ii) lower bounds for the degree of a torsion point (Masser), after taking conjugates. In order to be able to deal with (i), we discuss (Thm. 2.1) the semi-algebraic curves contained in an analytic variety supposed invariant for translations by a full lattice, which is a topic with some independent motivation.

研究の動機と目的

• 既存のコhomオロジカルまたはモデル理論的アプローチとは異なる、解析的および算術的手法を用いてマンイン＝マフラム予想の新証明を提供すること。
• レイノーの元々の定理を拡張し、アーベル多様体の部分多様体におけるねじれ点の均一な有限性結果を確立すること。
• p-最小的幾何学（ピラ＝ウィルキー経由）および算術的次数推定（マッサー経由）がディオファントス問題に応用可能であることを示すこと。
• 今後、この手法を、アンドレ＝オールト予想や家族におけるねじれ点の有限性といった、算術幾何の他の問題に応用する基盤を築くこと。
• 周期的解析的集合上の有理点と代数幾何学との間の相互作用を踏まえ、古典的結果を統一的かつ再定式化すること。

提案手法

• アーベル多様体上のねじれ点を、一様化同型 $\beta: \mathbb{C}^g / \Lambda \to A$ を通じて複素トーラス上の有理点として表現する。
• 代数的部分多様体 $X \subset A$ を、$\mathbb{Z}^{2g}$ による不変性を持つ解析的多様体 $Z \subset \mathbb{R}^{2g}$ に上げる。このとき、$X$ 上のねじれ点は $Z$ 上の有理点に対応する。
• ピラ＝ウィルキーの定理を適用し、$Z$ 上の分母が有界な有理点の数を、半代数的曲線に含まれるものを除いて上から抑える。
• マッサーの結果を用いて、位数 $T$ のねじれ点の次数に下界 $\gg T^{\rho}$ が存在することを示し、そのガロア共役が多数の異なるねじれ点を生成することを示す。
• 上界 $\ll T^{\epsilon}$（ピラ＝ウィルキーによる）と下界 $\gg T^{\rho}$（マッサーによる）を比較することで、$T$ が十分に大きい場合に矛盾が生じることを示し、ねじれ点の位数が有界であることを証明する。
• 次元に関する帰納法と特異化を用い、一般の場合（$\mathbb{C}$ 上）を、数体の場合に還元する。アーベル多様体内のコセットの構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マンイン＝マフラム予想は、$p$-進的またはモデル理論的技法とは異なる、アーケィメデス的技法を用いて証明可能だろうか？
• RQ2 ピラ＝ウィルキーの定理（p-最小的構造における有理点）と算術的次数の下界とを組み合わせることで、有限性結果が得られる範囲はどの程度か？
• RQ3 周期的解析的集合が半代数的曲線を含まないための条件は何か？ そしてそれはアーベル多様体内の部分多様体の構造とどのように関係するか？
• RQ4 この手法を、固定次元および固定次数の部分多様体の族にわたる均一な有限性結果に拡張可能だろうか？
• RQ5 この戦略を、累乗級数に関するシュワンデル予想のアックスの定理を用いた、マンイン＝マフラム予想の乗法的類似に応用可能だろうか？

主な発見

• ピラ＝ウィルキーの定理により、半代数的曲線を避ける周期的解析的集合 $Z$ 上の分母が $T$ である有理点の数は、任意の $\epsilon > 0$ に対して $\ll T^{\epsilon}$ で抑えられる。
• 次元 $g$ のアーベル多様体に属する、正確な位数 $T$ のねじれ点の、定義体が数体である場合の次数は、$g$ のみに依存するある $\rho > 0$ を用いて $\gg T^{\rho}$ で下から抑えられる（マッサーによる）。
• $X \subset A$ が位数 $T$ のねじれ点を含むならば、ガロア共役により少なくとも $\gg T^{\rho}$ 個の同様の点が存在する。これは、十分に大きな $T$ に対して $T^{\epsilon}$ の上界と矛盾する。
• アーベル部分多様体をねじれ点による平行移動で表さない部分多様体 $X \subset A$ 上の任意のねじれ点の位数は上界を持つ。このことから、$X$ 上には有限個のねじれ点しか存在しないことが結論づけられる。
• 部分多様体 $X$ が固定次元および固定次数を持つ限り、$X$ 内のすべてのねじれ点を被覆するアーベル部分多様体のコセット数について、均一な上限が得られる。
• この手法は一般化可能である。すでに、$E_l: y^2 = x(x-1)(x-l)$ 上で $P_l = (2, y)$ と $Q_l = (3, y)$ が両方ともねじれ点であるような複素数 $l$ が有限個であることを証明するために応用済みである。