[論文レビュー] Rational points of elliptic surfaces and Zariski $N$-ples for cubic-line, cubic-conic-line arrangements

Shinzo Bannai, Hiro‐o Tokunaga+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理楕円曲面の有理点とセクションの算術を用いて、無限曲線を含まない立方曲線-直線および立方曲線-円錐曲線-直線配置の、初めて知られるザリスキの三重奏および四重奏を構成する。曲線に沿ったガロア被覆の解析と二分法および接触円錐曲線の利用により、同一の組み合わせ的構造だが位相的に非同相な7次配置の明示的例が得られ、6次以下のザリスキ対の構成における長年の空白が解消された。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of the relation between rational points of rational elliptic surfaces and plane curves. As an application, we give first examples of Zariski pairs of cubic-line arrangements that do not involve inflectional tangent lines.

研究の動機と目的

• 無限曲線を含まない7次平面曲線配置の新しいザリスキ $N$-重奏を構成し、それまで知られていた無限曲線を含む例の範囲を超えること。
• 特に有理楕円曲面上の有理点とセクションの算術的技法を発展・適用し、同一の組み合わせ的構造だが異なる位相型を持つ幾何的配置を生成すること。
• 有理楕円ファイブレーション上の有理点から生じる接触円錐曲線および二分法の明示的代数的構成を提供し、低次の非無限曲線設定におけるザリスキ $N$-重奏の実現を可能にすること。
• 無限曲線が存在しない場合でも、ザリスキ対や $N$-重奏の存在が妨げられないことを示し、代数幾何学における既知の例の範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathcal{Q} = \mathcal{L}_o + \mathcal{E}$ を分岐曲線とする $\mathbb{P}^2$ への2重被覆として構成される有理楕円曲面 $\varphi_{\mathcal{Q},z_o}: S_{\mathcal{Q},z_o} \to \mathbb{P}^1$ を用い、さらに $\mathcal{E}$ 上の滑らかな点 $z_o$ の逆像における2回のブLOW-UPを施す。
• 一般ファイバー $E_{\mathcal{Q},z_o}(\mathbb{C}(t))$ 上の有理点を用いて、モーデル＝ヴェイル群と $D_4^*$-配置を用いた幾何的技法により、二分法と接触円錐曲線を構成する。
• 有理点 $P_j$ と線形関数 $r(t)$ を用いて、パラメータ $b_j$ に依存する係数を持つ接触円錐曲線 $\mathcal{C}_j$ の明示的式を導出する。これにより、$\mathcal{Q}$ と偶数の交点重複度を持つ接線をなす円錐曲線が得られる。
• 滑らかな円錐曲線 $\mathcal{C}$ が $\mathcal{B}$ に対して接触円錐曲線であるための条件は、すべての交点重複度 $I_x(\mathcal{C},\mathcal{B})$ が偶数であり、かつ $\mathcal{B}$ が $x$ で滑らかであることである。これは適切な接線性を保証する。
• 曲線 $\mathcal{B}^i$ に沿ったガロア被覆を用いて、同一の組み合わせ的構造であるが位相的に非同相な構造を区別するトップスロジカル不変量として用いる。
• 有理点と関連する円錐曲線を変化させることで、系 $\mathcal{B}^1, \mathcal{B}^2, \dots$ を体系的に生成し、$N=3$ および $N=4$ のザリスキ $N$-重奏を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方曲線-直線および立方曲線-円錐曲線-直線配置に対して、立方曲線の無限曲線接線を含まないザリスキ $N$-重奏を構成できるか？
• RQ2 無限曲線を除いた7次曲線の配置において、同一の組み合わせ的型だが $\mathbb{P}^2$ 内で位相的に非同相な埋め込みを持つものが存在するか？
• RQ3 有理楕円曲面上の有理点の算術を体系的に用いて、接触円錐曲線および二分法を生成し、位相的に異なる曲線配置を生み出せるか？
• RQ4 このような接触円錐曲線に対して、明示的で代数的な方程式を構成し、モーデル＝ヴェイル群の構造を用いて接線性および交点性質を検証できるか？
• RQ5 無限曲線に依存しない状況で、ザリスキ $N$-重奏を生成するために必要な最小の次数および幾何的複雑性は何か？

主な発見

• 著者らは、ノードを持つ立方曲線 $\mathcal{E}$、横断的直線 $\mathcal{L}_o$、および3つまたは4つの接触円錐曲線からなる7次曲線のザリスキ三重奏 $ (\mathcal{B}^1, \mathcal{B}^2, \mathcal{B}^3) $ を構成した。この構成では、無限曲線は一切関与しない。
• ノードを持つ立方曲線 $\mathcal{E}$、横断的直線 $\mathcal{L}_o$、および4つの接触円錐曲線からなるザリスキ四重奏 $ (\mathcal{B}^1, \mathcal{B}^2, \mathcal{B}^3, \mathcal{B}^4) $ が構成され、すべて同じ組み合わせ的構造だが位相型が非同相である。
• モーデル＝ヴェイル群の有理点に対応する5つの接触円錐曲線 $\mathcal{C}_1, \dots, \mathcal{C}_5$ の明示的式が導出され、係数はパラメータ $b_j$ に依存する。
• 一般のパラメータ $b_1, \dots, b_5$ の選択に対して、$\mathcal{B}^1, \mathcal{B}^2, \mathcal{B}^3$ はザリスキ三重奏を、$\mathcal{B}^1, \mathcal{B}^2, \mathcal{B}^3, \mathcal{B}^4$ はザリスキ四重奏を形成する。これはガロア被覆不変量による検証で確認された。
• この構成は、完全に無限曲線を避けるものであり、立方曲線-直線および立方曲線-円錐曲線-直線配置において、文献上初の例である。
• 従来の無限曲線に依存するアプローチを一般化し、有理楕円曲面上のセクションの算術が、特別な立方曲線の対称性がなくても、位相的に異なる配置を生成できることを示した。