[論文レビュー] Rational spectral methods for PDEs involving fractional Laplacian in unbounded domains

Tao Tang, Li-Lian Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Numerical methods in inverse problems被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、無限大領域における分数ラプラシアンを伴う分数PDEを解くために、修正された写像付きゲンゲナウアー多項式（MMGFs）を用いた有理スペクトル法を提案する。修正ベッセル関数を用いてMMGFsの明示的フーリエ変換および分数ラプラシアンの公式を導出し、分数ソボレフ空間において最適収束率を達成するスペクトル・ガレルキン法およびコロケーション法を構築した。数値実験では、ヘルミート関数に基づく手法よりも優れた精度を示した。

ABSTRACT

Many PDEs involving fractional Laplacian are naturally set in unbounded domains with underlying solutions decay very slowly, subject to certain power laws. Their numerical solutions are under-explored. This paper aims at developing accurate spectral methods using rational basis (or modified mapped Gegenbauer functions) for such models in unbounded domains. The main building block of the spectral algorithms is the explicit representations for the Fourier transform and fractional Laplacian of the rational basis, derived from some useful integral identites related to modified Bessel functions. With these at our disposal, we can construct rational spectral-Galerkin and direct collocation schemes by pre-computing the associated fractional differentiation matrices. We obtain optimal error estimates of rational spectral approximation in the fractional Sobolev spaces, and analyze the optimal convergence of the proposed Galerkin scheme. We also provide ample numerical results to show that the rational method outperforms the Hermite function approach.

研究の動機と目的

• 無限大領域における解の減衰が遅い分数PDEに対して、効率的なスペクトル法の不足を解消すること。
• 代数的減衰を示す解の近似において、従来のヘルミート関数およびラゲル関数の限界を克服すること。
• 分数ラプラシアン問題に特化した、有理基底関数（修正写像付きゲンゲナウアー関数）に基づく堅牢なスペクトルフレームワークを開発すること。
• 提案された有理スペクトル・ガレルキン法の分数ソボレフ空間における最適誤差推定を確立すること。
• 広範な数値比較を通じて、有理法がヘルミートコロケーション法を上回ることを実証すること。

提案手法

• 代数的減衰を捉えるために、有理写像を介してジャコビ多項式から導出された修正写像付きゲンゲナウアー関数（MMGFs）を基底関数として採用する。
• 第2種修正ベッセル関数を含む積分恒等式を用いて、MMGFsのフーリエ変換の明示的解析的表現を導出する。
• これらのフーリエ変換の公式を用いて、基底関数の分数ラプラシアンを計算し、分数微分行列を構築する。
• 微分行列を事前計算し、周波数領域で解くことにより、有理スペクトル・ガレルキン法および直接コロケーション法を構築する。
• 解のフーリエ変換および逆変換を効率的に計算するため、テンソル積型の数値積分則を実装する。
• 物理空間における解の再構築のために、前方変換と同じ公式を用いてMMGFsの逆フーリエ変換を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正写像付きゲンゲナウアー関数に基づく有理スペクトル法は、減衰が遅い解を有する無限大領域における分数PDEに対して、最適収束性を達成できるか？
• RQ2 MMGFsのフーリエ変換および分数ラプラシアンはどのように振る舞い、特殊関数を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ3 有理スペクトル法は、精度および収束速度の点で、古典的ヘルミート関数法をどの程度上回るか？
• RQ4 提案手法は、効率的なソルバーやプリコンディショナを備えた高次元問題へ拡張可能か？
• RQ5 形状パrameter λ は、異なる解の減衰プロファイルに適合させるために、MMGFsの近似特性を調整する役割を果たすか？

主な発見

• 提案された有理スペクトル・ガレルキン法は、分数ソボレフ空間において最適収束率を達成し、誤差境界が理論的期待と一致する。
• 修正ベッセル関数を用いてMMGFsのフーリエ変換の明示的公式が導出され、分数ラプラシアンの正確な計算が可能になった。
• 1次元および2次元の数値例において、MMGFコロケーション法がヘルミートコロケーション法を精度および収束速度の両面で上回った。
• f(x,y) = exp(−√(x²+y²)) の2次元テストケースにおいて、λ=0.5 のMMGF法は、ヘルミート法およびλ=0 のMMGF法よりも高い精度を達成した。
• 微分行列の直接的定式化により変換の逆算に依存しないため、非線形問題に対しても本手法は堅牢である。
• MMGFsの逆フーリエ変換は、前方変換と同じ解析的公式を用いて計算可能であり、効率的な解の再構築が可能になった。