[論文レビュー] Rational Symplectic Field Theory over Z_2 for exact Lagrangian cobordisms

Tobias Ekholm|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、円筒的端を持つシンプレクティック多様体における正確ラグランジュ的コボルドィズムに対して、k個のフィルトレーションレベルを持つフィルター付きチェイン複体を用いて、ℤ₂ 上の有理的シンプレクティック場理論を構成する。変形に対して不変であるスペクトル系列を確立し、s個の平行コピーがk個の部分集合に分割されたlegendrian部分多様体のシンプレクティゼーションに関連するスペクトル系列が、legendrian同相不変量をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

We construct a version of rational Symplectic Field Theory for pairs $(X,L)$, where $X$ is an exact symplectic manifold, where $L\subset X$ is an exact Lagrangian submanifold with components subdivided into $k$ subsets, and where both $X$ and $L$ have cylindrical ends. The theory associates to $(X,L)$ a $\Z$-graded chain complex of vector spaces over $\Z_2$, filtered with $k$ filtration levels. The corresponding $k$-level spectral sequence is invariant under deformations of $(X,L)$ and has the following property: if $(X,L)$ is obtained by joining a negative end of a pair $(X',L')$ to a positive end of a pair $(X'',L'')$, then there are natural morphisms from the spectral sequences of $(X',L')$ and of $(X'',L'')$ to the spectral sequence of $(X,L)$. As an application, we show that if $Λ\subset Y$ is a Legendrian submanifold of a contact manifold then the spectral sequences associated to $(Y imes\R,Λ_k^s imes\R)$, where $Y imes\R$ is the symplectization of $Y$ and where $Λ_k^s\subset Y$ is the Legendrian submanifold consisting of $s$ parallel copies of $Λ$ subdivided into $k$ subsets, give Legendrian isotopy invariants of $Λ$.

研究の動機と目的

• 円筒的端を持つシンプレクティック多様体における正確ラグランジュ的コボルドィズムに対して、ℤ₂ 上の有理的シンプレクティック場理論を構築すること。
• X が正確シンプレクティック多様体で、L がその正確ラグランジュ的部分多様体であり、その成分がk個の部分集合に分割されているペア (X, L) に対して、k個のフィルトレーションレベルを持つフィルター付きチェイン複体を定義すること。
• このフィルター付き複体から得られるスペクトル系列が (X, L) の変形に対して不変であることを構成すること。
• コボルドィズムの貼り合わせに関して、成分ペアのスペクトル系列から貼り合わせたペアへの自然な準同型写像が存在することを示すこと。
• この理論をlegendrian部分多様体のシンプレクティゼーションに適用し、(Y×ℝ, Λₖˢ×ℝ) のスペクトル系列がlegendrian同相不変量をもたらすことを証明すること。

提案手法

• 境界が L にあり、境界の穴がリーブ・チョードに漸近する J-擬全純曲線から、ℤ₂ 上の ℤ-次数付きチェイン複体を構成する。
• 正確ラグランジュ的 L の成分のk個の部分集合に対応するkレベルのフィルトレーションを用いる。
• ほぼ複素構造の経路に摂動を施して横断性を達成し、境界バブルの制御を行う。
• 摂動に伴うポテンシャルベクトルの変化を追跡するインクリメント写像 Δ: V(X₀,L₀) → V(X₁,L₁) を定義し、各レベル間で一貫性を保証する。
• 次元 ≤1 の許容的擬全純ディスクのモジュライ空間が横断的に切断されていることを証明し、(-1)-ディスクの複数の接続を防ぐ。
• 境界の貼り合わせ公式 f₁ = f₀ + Δ(f₀, k) を確立し、隣接するレベルにおける f₀ と f₁ の関係を示し、スペクトル系列の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-フィルター構造を持つ正確ラグランジュ的コボルドィズムに対して、ℤ₂ 上の有理的シンプレクティック場理論を構築できるか？
• RQ2 得られるスペクトル系列はコボルドィズム (X, L) の変形に対して不変のままであるか？
• RQ3 貼り合わせられたコボルドィズムのスペクトル系列は、その成分のスペクトル系列から自然な準同型写像を受けるか？
• RQ4 この理論はlegendrian部分多様体のlegendrian同相不変量を生成できるか？
• RQ5 s個の平行コピーがk個の部分集合に分割されたlegendrian部分多様体のシンプレクティゼーションに関連するスペクトル系列は、legendrian同相不変量か？

主な発見

• この理論は、成分がk個の部分集合に分割された正確ラグランジュ的コボルドィズム (X, L) に関連する、ℤ₂ 上の ℤ-次数付きフィルター付きチェイン複体を構成する。
• このフィルター付き複体に関連するスペクトル系列は (X, L) の変形に対して不変であり、不変量の堅牢性を保証する。
• (X′, L′) の負の端と (X′′, L′′) の正の端を貼り合わせて得られる (X, L) に対して、(X′, L′) および (X′′, L′′) のスペクトル系列から (X, L) のスペクトル系列への自然な準同型写像が存在する。
• Y に含まれるlegendrian部分多様体 Λ に対して、(Y×ℝ, Λₖˢ×ℝ) のスペクトル系列はlegendrian同相不変量である。ここで Λₖˢ は s 個の Λ の平行コピーが k 個の部分集合に分割されたものである。
• レベル 1 におけるポテンシャルベクトル f₁ は、レベル 0 における f₀ と f₁ = f₀ + Δ(f₀, k) の関係にある。ここで k は摂動における (-1)-ディスクの数を数えるものであり、各レベル間の一貫性を保証する。
• 次元 ≤1 の擬全純ディスクのモジュライ空間の横断性が達成されており、壊れたディスクが1つより多くの (-1)-ディスク因子を含むことはない。これにより線形化作用素が全射であることが保証される。