[論文レビュー] Recent developments in applied pseudoanalytic function theory

Vladislav V. Kravchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、擬解析関数論における形式的べきの明示的構成のための新規アルゴリズムを提示する。この手法により、導電度方程式やシュレーディンガー方程式を含む2階楕円型偏微分方程式の完全な正確解系の生成が可能になる。演算子 (div p grad + q) から導かれる特別なベクワ方程式を用いることで、形式的べきにおけるテイラー展開に類似した系列を用いた体系的で記号的計算可能な解法が可能となり、高精度な数値解が得られる。例えば、単位円板上のディリクレ問題において誤差 ≈10⁻⁷ の結果が得られている。

ABSTRACT

We present recently obtained results in the theory of pseudoanalytic functions and its applications to elliptic second-order equations. The operator (divpgrad+q) with p and q being real valued functions is factorized with the aid of Vekua type operators of a special form and as a consequence the elliptic equation (divpgrad+q)u=0, (1) reduces to a homogeneous Vekua equation describing generalized analytic (or pseudoanalytic) functions. As a tool for solving the Vekua equation we use the theory of Taylor and Laurent series in formal powers for pseudoanalytic functions developed by L. Bers. The series possess many important properties of the usual analytic power series. Their applications until recently were limited mainly because of the impossibility of their explicit construction in a general situation. We obtain an algorithm which in a really broad range of practical applications allows us to construct the formal powers and hence the pseudoanalytic Taylor series in explicit form precisely for the Vekua equation related to equation (1). In other words, in a bounded domain this gives us a complete (in C-norm) system of exact solutions of (1).

研究の動機と目的

• 形式的べきの明示的構成を可能にする実用的手法を開発すること。これにより、長年の一般的構成の非可解性という限界を克服する。
• 2階楕円型方程式 (div p grad + q)u = 0 と特別なベクワ方程式との間の直接的な関係を確立することにより、擬解析関数論による解法を可能にする。
• 直交座標系における f = Φ(φ)Ψ(ψ) の形をした1つの特解が、元の方程式の完全な正確解系を生成することを示すこと。
• MATLAB などの記号計算システムを用いた計算的に実行可能なフレームワークを提供することにより、ヤクバイ方程式やヘルムホルツ方程式を含む楕円型偏微分方程式の解法に応用可能にする。
• ヤクバイ方程式やヘルムホルツ方程式の既存の解系を、形式的べき構成の自然な特殊ケースとして統一的かつ一般化的に示すこと。

提案手法

• 直交座標系における特解 f = Φ(φ)Ψ(ψ) から導かれる特別な生成対を用いて、楕円型演算子 (div p grad + q) をベクワ型演算子に因数分解する。
• L. ベルスの形式的べきにおけるテイラー級数およびローラン級数の理論を、得られた主ベクワ方程式に適用する。これは、一般化解析関数への複素解析的べき級数の一般化である。
• 有界領域において関連する解析関数 Φ_z が有界かつ非零である場合に有効な、再帰的積分と記号計算に基づく新しいアルゴリズムを開発し、主ベクワ方程式の形式的べき Z^(n)(a,0;z) を明示的に計算する。
• 形式的べきから実部解を構成し、元の楕円型方程式 (div p grad + q)u = 0 の完全な正確解系を生成する。
• 記号計算ソフトウェア（例：MATLAB R2006a）を用いて、形式的べきを10次までの次数まで解析的表現で計算し、コロケーション法による境界値問題の数値解法を可能にする。
• 既知の方程式（ヤクバイ、ヘルムホルツ、導電度）を用いたテストにより、解系の完全性と収束性を検証し、既存の解族と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般状況において、主ベクワ方程式の形式的べきを明示的に構成可能か。これにより、従来の不可能性が克服されるか？
• RQ2 直交座標系における1つの特解 f = Φ(φ)Ψ(ψ) が、方程式 (div p grad + q)u = 0 の完全な解系を生成するか？
• RQ3 提案されたアルゴリズムにより、記号計算とコロケーション法を用いて、楕円型偏微分方程式の高精度な数値解が得られるか？
• RQ4 ヤクバイ方程式およびヘルムホルツ方程式の既存の解系が、提案された形式的べき構成の特殊ケースとして導かれるか？
• RQ5 生成関数が非零かつ有界であれば、解系が領域の形状に依存しない程度はどの程度か？

主な発見

• 本稿では、変数係数を含む広範なクラスの楕円型偏微分方程式において、主ベクワ方程式の形式的べきを明示的かつ記号的に構成可能にする新規アルゴリズムを提示する。
• 単位円板上でのヤクバイ方程式（c=1）において、計算された形式的べきを用いた21項近似により、ディリクレ問題で最大誤差が約 10⁻⁷ に達し、収束が速いことが示された。
• f = e^{cy} を用いたヤクバイ方程式の完全な解系は、ブレッグとデットマンが異なる手法で以前に導出したものと一致し、一貫性と完全性が確認された。
• 同様の手法により、f = cos(cy) を選ぶことで、ヘルムホルツ方程式の既知の解系が再現され、このアプローチの一般性が示された。
• 導電度方程式 div(f²∇U) = 0 は、f が Φ(φ)Ψ(ψ) の形をとる場合、関連する解析関数 Φ_z が有界かつ非零であれば、完全な正確解系を有する。
• この手法は普遍的である。解系は領域に依存せず、生成関数 f と、関連する解析関数 Φ_z が有界かつ非零である限り、その性質に依存する。