[論文レビュー] Recent Results in Infinite Dimensional Analysis and Applications to Feynman Integrals

Werner Westerkamp|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 76被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、アペル系とホワイトノイズ解析を用いて非ガウス測度に対する無限次元解析フレームワークを構築し、フェインマン経路積分を厳密に定式化する。量子力学的生成子関係の関数的形が確立され、ホワイトノイズ分布を介してエーレンフェストの定理が導出され、量子平均値が経路積分形式において古典的運動方程式を満たすことが示された。

ABSTRACT

The first part of this thesis proposes a general approach to infinite dimensional non-Gaussian analysis, including the Poissonian case. In particular distribution theory is developed. Using appropriate integral transformations, generalized and test functionals are characterized in terms of holomorphy. Furthermore differential operators, Wick product and change of measure are discussed. In the second part the Gaussian case (White Noise Analysis) is worked out in more detail. Furthermore operators on distribution spaces e.g. compositions with shifts and complex scaling are discussed. In the third part Feynman integrals are constructed using White Noise distributions as integrands. Its expectation yields the path integral. This rigorous approach is applied to the interacting case. A generalization of the Khandekar Streit method is proposed. The resulting class of admissible potentials covers signed measures. The Albeverio Hoegh-Krohn class, which consists of Fourier transforms of measures, is discussed. The third approach is based on complex scaling. The so-called Doss class allows analytic potentials which obey some growth condition. Using the White Noise calculus of differential operators, the functional form of the canonical commutation relation is derived. Finally Ehrenfest's theorem is proven.

研究の動機と目的

• 非ガウス的で滑らかで退化しない測度、かつ解析的特性関数を持つ測度への無限次元解析の拡張。
• 準不変性や滑らかな対数微分を要件としない、非ガウス的測度のための双対アペル系 (Pµ, Qµ) の構成。
• 量子力学におけるフェインマン経路積分の厳密な定式化、特に調和振動子および Albeverio-Høegh-Krohn 系に応用。
• ホワイトノイズ分布フレームワーク内での量子力学的恒等式（例えば、正準交換関係やエーレンフェストの定理）の導出。
• 量子平均値が古典的運動方程式を満たすことを示し、経路積分設定における対応原理を裏付ける。

提案手法

• コ核空間上の非ガウス的測度 µ に対して、双対多項式と一般化関数を用いてアペル系 (Pµ, Qµ) を構築する。
• ホワイトノイズ解析とヒーダの三重対 (N) ⊂ L²(µ) ⊂ (N)′ を用い、テスト関数と分布を U-関数と無限次元正則性を介して表現する。
• 時間順序積や経路積分における特異性を扱うために、複素スケーリングとドンスカーのデルタ関数を適用する。
• (Sd)−1 と (Sd)1 の双対性を用いて一般化関数を定義・操作し、フェインマン被積分をヒーダ分布として扱う。
• スコロホド型微分の随伴作用素 D∗ を用いて量子恒等式を導出し、T ∈ S′d(R) に対して E(D∗TI) = 0 であるという恒等式を活用する。
• ホワイトノイズ分布の積の法則と極限過程（例えば ε → 0）を用いて、関数的積分から演算子恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準不変性や滑らかな対数微分を要件としない非ガウス的測度に対する厳密な無限次元解析フレームワークを構築可能か？
• RQ2 位置と運動量の正準交換関係は、関数的積分表現から直接導出可能か？
• RQ3 量子力学的平均値が経路積分形式において、どの程度古典的運動方程式を満たすか？
• RQ4 調和振動子および Albeverio-Høegh-Krohn 系のフェインマン被積分を、一般化ホワイトノイズ関数として厳密に表現可能か？
• RQ5 ドンスカーのデルタ関数と複素スケーリングは、時間順序積と特異性を扱う上で果たす役割は何か？

主な発見

• 解析的特性関数を持つ非ガウス的測度に対して、滑らかさや準不変性を要件としない双対アペル系 (Pµ, Qµ) が構築され、一般化関数論の枠組みが確立された。
• 正準交換関係が経路積分形式で厳密に導出された：limε→0 E[(ẋk(s+ε)xℓ(s) − xℓ(s)ẋk(s−ε))I] = −iδkℓE[I] であり、位置と運動量演算子の非可換性が裏付けられた。
• エーレンフェストの定理がホワイトノイズフレームワーク内で回復された：E[ẍ(s)·I] = −E[∇V(ẋ(s))·I] であり、量子期待値が古典的運動方程式を満たすことが示された。
• 調和振動子のフェインマン被積分が (Sd)−1 内のヒーダ分布として表現され、ホワイトノイズ計算による厳密な操作が可能となった。
• ドンスカーのデルタ関数と複素スケーリングの使用により、時間順序積と特異性の取り扱いが可能となり、急速に減少する因子 1/n! によって収束が保証された。
• フレームワークにより、平均値における標本経路は微分可能でないことが示され、量子軌道の滑らかでない性質が反映された。