[論文レビュー] Recipes to Fermat-type equations of the form x^r + y^r = Cz^p

Nuno Freitas|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、全実体 $\mathbb{Q}(\zeta_7)^+$ 上のモジュラー形式を用いた多重量Frey曲線戦略を開発し、十分に大きな素数 $p$ に対して、$x^7 + y^7 = 3z^p$ の非自明な原始的解が存在しないことを証明する。$\mathbb{Q}(\zeta_7)^+$ 上の関連Frey曲線のモジュラー性と無限可約性を証明し、関連するヒルベルト型および古典的ニュー形式を計算的に除外することで、$p > (1 + 3^{18})^2$ のとき、このような解が存在しないことが示された。これは、符号 $(7,7,p)$ の方程式に対するモジュラー法において顕著な進展をもたらしている。

ABSTRACT

We describe a strategy to attack infinitely many Fermat-type equations of signature $(r,r,p)$, where $r \geq 7$ is a fixed prime and $p$ is a prime allowed to vary. We use a variant of the modular method over totally real subfields of $\mathbb{Q}(ζ_r)$. In particular, to a solution $(a,b,c)$ of $x^r + y^r =Cz^p$ we will attach several Frey curves $E=E_{(a,b)}$. We prove modularity of all the Frey curves and the exsitence of a constant constant $M_r$, depending only on $r$, such that for all $p>M_r$ the representations $\barρ_{E,p}$ are absolutely irreducible. Along the way, we also prove modularity of certain elliptic curves that are semistable at all $v \mid 3$.\par Finally, we illustrate our methods by proving arithmetic statements about equations of signature $(7,7,p)$. Among which we emphasize that, using a multi-Frey technique, we show there is some constant $M$ such that if $p > M$ then the equation $x^7 + y^7 = 3z^p$ has no non-trivial primitive solutions.

研究の動機と目的

• 固定された $r \geq 7$ に対して、$p$ を変化させる符号 $(r,r,p)$ の無限個のフェルマー型方程式を攻撃する一般戦略の開発。
• $\mathbb{Q}(\zeta_r)$ の全実部分体、特に $K^+ = \mathbb{Q}(\zeta_r)^+$ におけるモジュラー法の拡張、$x^r + y^r = Cz^p$ の方程式に対して。
• $p > M_r$ に対して、残余ガロア表現 $\bar{\rho}_{E,p}$ のモジュラー性と絶対的可約性を証明し、レベル低下の議論を可能にする。
• $C=3$ および $r=7$ の特定のケースにこの手法を適用し、$p$ が大きい場合に有限個の解しか存在しないことを示す。
• すべての候補となるニュー形式を関連する空間から排除することで、$x^7 + y^7 = 3z^p$ の場合を解決し、モジュラー法の矛盾段階を完了する。

提案手法

• 原始的解 $(a,b,c)$ が存在すると仮定し、$K^+ = \mathbb{Q}(\zeta_r)^+$ 上の全実体上で、$x^r + y^r = Cz^p$ のために複数のFrey曲線 $E_{(a,b)}^{(i,j,k)}$ を付与する。
• レベル低下およびモジュラー性上昇定理を用いて、$K^+$ 上で構築されたすべてのFrey曲線のモジュラー性を証明する。
• すべての $p > M_r$ に対して、$\bar{\rho}_{E,p}$ の絶対的可約性を確立し、$M_r$ は $r$ のみに依存する。これにより、表現がニュー形式に対応することが保証される。
• $K^+$ 上のヒルベルトニュー形式と $\mathbb{Q}$ 上の古典的ニュー形式を用いて、Frey曲線から生じる可能性のあるガロア表現を分類する。
• Magmaを用い、ノルム200までのフーリエ係数データを用いて、レベル $2^s 3 \pi_7^t$（$s \in \{0,1,3,4\}$、$t=1,2$）の空間における候補ニュー形式の計算的除外を実行する。
• 13および41の上方の素数を用いた矛盾の議論により、残存するすべてのニュー形式を除外し、$x^7 + y^7 = 3z^p$ に対するモジュラー法の完了を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号 $(r,r,p)$ で $r \geq 7$ を固定し $p$ を変化させる無限個のフェルマー型方程式を攻撃するため、モジュラー法を拡張可能か？
• RQ2 $x^7 + y^7 = 3z^p$ に対して、$p > M$ ならば非自明な原始的解が存在しないような定数 $M$ が存在するか？
• RQ3 $K^+ = \mathbb{Q}(\zeta_7)^+$ 上の複数のFrey曲線を用いることで、単一曲線アプローチの制限を克服し、モジュラー法を強化可能か？
• RQ4 この設定において、すべての十分に大きな $p$ に対して、$\bar{\rho}_{E,p}$ のモジュラー表現が絶対的可約性を満たすか？
• RQ5 高次元の空間におけるヒルベルトニュー形式の計算的除外は、部分的フーリエ係数データを用いて達成可能か？

主な発見

• 本稿では、すべての $p > (1 + 3^{18})^2$ に対して、方程式 $x^7 + y^7 = 3z^p$ に非自明な原始的解が存在しないことが証明された。
• 多重量Frey曲線に付随する $\bar{\rho}_{E,p}$ および $\bar{\rho}_{E',p}$ のモジュラー表現は、すべての $p > (1 + 3^{18})^2$ に対して絶対的可約性を満たす。
• $S_2(2^3 3 \pi_7)$ に属する56個の有理ニュー形式は、13および41の上方の素数を用いた計算的除外により、$p > 5$ の場合に矛盾が確認された。
• $S_2(2^3 3 \pi_7^2)$ に属する152個の有理ニュー形式は、ノルム200までのフーリエ係数データを用いて除外され、非有理形式は以前のセクションと同様の議論により除外された。
• 非自明な原始的解が $p > M_3$ のとき存在しないような定数 $M_3$ の存在が確立され、$M_3 = (1 + 3^{18})^2$ である。
• モジュラー性、可約性、古典的およびヒルベルトモジュラー形式におけるニュー形式の計算的除外を統合することで、本手法は $r=7$、$C=3$ の場合にモジュラー法を効果的に適用した。