[論文レビュー] Recurrence relations and fast algorithms

Mark Tygert|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2006

Numerical Methods and Algorithms参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文では、線形再帰関係を満たす特殊関数（重み付き正規直交多項式やベッセル関数など）の変換を高速に計算するアルゴリズムを提示する。これらの再帰関係から得られる三重対角自己随伴行列のスペクトル分解を活用することで、計算量は $ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^{3}) $ に抑えられ、標準的な $ O(n^2) $ の手法に比べて著しく高速でありながら、高い精度を維持する。

ABSTRACT

We construct fast algorithms for evaluating transforms associated with families of functions which satisfy recurrence relations. These include algorithms both for computing the coefficients in linear combinations of the functions, given the values of these linear combinations at certain points, and, vice versa, for evaluating such linear combinations at those points, given the coefficients in the linear combinations; such procedures are also known as analysis and synthesis of series of certain special functions. The algorithms of the present paper are efficient in the sense that their computational costs are proportional to n (ln n) (ln(1/epsilon))^3, where n is the amount of input and output data, and epsilon is the precision of computations. Stated somewhat more precisely, we find a positive real number C such that, for any positive integer n > 10, the algorithms require at most C n (ln n) (ln(1/epsilon))^3 floating-point operations and words of memory to evaluate at n appropriately chosen points any linear combination of n special functions, given the coefficients in the linear combination, where epsilon is the precision of computations.

研究の動機と目的

• 線形再帰関係を満たす特殊関数の線形結合を評価するための効率的アルゴリズムの開発。
• 正規直交多項式およびベッセル関数を含む級数の高速解析・合成を可能にする。
• 高精度変換において、計算コストを $ O(n^2) $ から $ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3) $ に低減する。
• 標準的なFFTを超えて、より広範なクラスの特殊関数にまで高速スペクトル法の適用を拡張する。
• 関連レジェンドル関数を用いた球面調和関数および関連変換の実装支援。

提案手法

• 再帰関係の解が三重対角自己随伴行列の固有ベクトルに対応することを利用する。
• 分割統治型スペクトルアルゴリズムを用いて固有値を計算し、固有ベクトル行列 $ U $ および $ U^T $ を効率的に適用する。
• 再帰的二分法と逆反復に基づく、$ U $ および $ U^T $ との行列-ベクトル積の高速アルゴリズムを適用する。
• 係数空間と関数値との間の変換に、対角スケーリング行列 $ S $ および $ S^{-1} $ を利用する。
• 再帰に基づく関数表現とガウス求積ノードおよびクリスティオーベル数を組み合わせ、関数評価の高精度を実現する。
• 重み関数 $ w(x) = (1-x)^m(1+x)^m $ を持つ正規直交多項式および次数が異なるベッセル関数にこの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形再帰関係を満たす特殊関数の変換に対して、高速アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 そのようなアルゴリズムの計算量は何か？ また、入力サイズ $ n $ と精度 $ \varepsilon $ の関数として上限を示せるか？
• RQ3 三重対角行列のスペクトル分解を用いて、正規直交多項式の変換をどのように高速化できるか？
• RQ4 同じフレームワークをベッセル関数および球面調和関数へ拡張できるか？
• RQ5 クリスティオーベル数および求積ノードが、線形結合の高速評価を可能にする役割は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$ n \geq 10 $ および $ \varepsilon \leq 1/10 $ の場合、浮動小数点演算およびメモリワード数が最大で $ C n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3 $ に抑えられる。ここで $ C $ は普遍定数である。
• この手法により、$ n $ 個の特殊関数を $ n $ 点で評価する線形結合の評価が、$ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3) $ の演算で高速に可能となる。
• 関数値から係数を回復する逆問題についても、固有ベクトル行列の随伴行列を用いることで、同じ計算量で解ける。
• クリスティオーベル数は、固有ベクトル行列の最初の列を用いることで、同じフレームワーク内で迅速に計算可能である。
• ベッセル関数の零点は、スペクトルアルゴリズムの固有値計算ステップを用いて、効率的に計算可能である。
• 適切な重み関数を用いて関連レジェンドル関数にこのフレームワークを適用することで、球面調和関数の高速変換が可能となる。