[論文レビュー] Recursive approach to supersymmetric quantum mechanics for arbitrary fermion occupation number

Piotr Korcyl|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のフェルミオン占有数を持つ超対称量子力学のフォック基底におけるゲージ不変演算子の行列要素を再帰的に計算するアルゴリズムを提示する。この手法により、全フェルミオン系において高精度なスペクトル計算が可能となり、ボソンとフェルミオンを等価に取り扱い、符号問題を回避し、有限カットオフでも正確な超対称デゲネラシーを達成する。SU(3)超対称非調和振動子モデル（離散スペクトルを有する）において、その有効性が実証された。

ABSTRACT

We present in details a numerical approach for solving supersymmetric quantum mechanical systems with a gauge symmetry valid in all fermionic sectors. The method uses a recursive algorithm to calculate matrix elements of any gauge invariant operator in the Fock basis, in particular of the Hamiltonian operator, and can be used for any gauge group. We describe its application to a supersymmetric anharmonic oscillator model with discrete spectrum.

研究の動機と目的

• 任意のフェルミオン占有数を持つ超対称量子力学におけるゲージ不変演算子の行列要素を、数値的に安定で再帰的な方法で計算するための手法を開発すること。
• 従来のフォック空間切断手法の制限を克服し、全フェルミオン系において高精度なスペクトル計算を可能にすること。
• 基本的および複合的なボソン的・フェルミオン的ブリックを用いた、ゲージ不変フォック状態を構築する体系的な枠組みを提供すること。
• 演算子の交換関係および反交換関係の自動計算、および基底状態の正規直交化を実装すること。
• SU(3)ゲージ対称性を有する離散スペクトルを有する超対称非調和振動子モデルを用いて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• ボソンおよびフェルミオンの生成・消滅演算子を用いてフォック基底を構築し、真空状態から生成演算子を再帰的に作用させて状態を構成する。
• 量子数の内容に応じて状態を体系的に整理するため、「基本的ボソン的ブリック」と「複合フェルミオン的ブリック」を導入する。
• 再帰的アルゴリズムにより、基底状態間のスカラー積行列を計算し、任意のゲージ不変演算子の行列要素を効率的に評価可能とする。
• 演算子の交換関係および反交換関係の計算を再帰的関係を用いて自動的に実行する。
• 正規直交化により重複する基底ベクトルを除去し、ゲージ不変性を保持するとともに数値的安定性を確保する。
• 行列要素の完全な再帰的関係式を導出し、全フェルミオン系におけるハミルトニアンスペクトルの高精度計算を可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のフェルミオン占有数を持つフォック空間において、ゲージ不変演算子の行列要素を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 再帰的アルゴリズムがボソンとフェルミオンを等価に取り扱えるか。これにより、符号問題を回避し、全フェルミオン系での計算が可能になるか？
• RQ3 有限フォック空間切断におけるウィッテン指数の振る舞いは何か。真の超対称真空デゲネラシーにどのように収束するか？
• RQ4 再帰的手法が、SU(N)ゲージ対称性を有する超対称非調和振動子において、高精度なスペクトル計算をどのように達成するか？
• RQ5 この手法は、D=10を含む高次元SYMQM系へ一般化可能か？

主な発見

• 再帰的アルゴリズムは、SU(3)超対称非調和振動子モデルの全9つのフェルミオン系において、高精度で固有エネルギーを計算することに成功した。
• ウィッテン指数は有限のオイラー時間Tにおいて急速に-2に収束し、モデルに2つの超対称真空状態が存在することを確認した。
• T=0では、切断されたフォック基底内にボソン状態とフェルミオン状態の数が等しいためウィッテン指数は0となるが、T→∞の極限では正しく超対称基底状態を数えている。
• この手法は、有限カットオフでも正確な超対称デゲネラシーを達成し、格子場理論で一般的に生じる符号問題を回避した。
• 計算されたエネルギー準位は、ボソン系とフェルミオン系の間で明確な超対称デゲネラシーのパターンを示しており、手法の正確性を裏付けた。
• アルゴリズムは一般性を有し、SU(3)、SU(4)、SU(5)、さらにはD=10 SYMQMを含む任意のゲージ群に適用可能である。