[論文レビュー] Reduced bandwidth: a qualitative strengthening of twin-width in minor-closed classes (and beyond)

Édouard Bonnet, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、二重幅（twin-width）の定性的な強化として、縮小列における赤グラフの最大帯域幅の最小値として定義される帯域幅の縮小（reduced bandwidth）を導入する。すべての適切なマイナー閉グラフクラス、特に平面グラフやオイラー・ジェネルスが有界なグラフを含む、これらが有界な帯域幅の縮小を持つことを証明している。これは、従来の二重幅に関する結果よりもきめ細かい定量的評価を提供する。例えば、平面グラフでは帯域幅の縮小が466以下であり、オイラー・ジェネルスγのマップグラフではO(γ⁴)である。

ABSTRACT

In a reduction sequence of a graph, vertices are successively identified until the graph has one vertex. At each step, when identifying $u$ and $v$, each edge incident to exactly one of $u$ and $v$ is coloured red. Bonnet, Kim, Thomassé and Watrigant [J. ACM 2022] defined the twin-width of a graph $G$ to be the minimum integer $k$ such that there is a reduction sequence of $G$ in which every red graph has maximum degree at most $k$. For any graph parameter $f$, we define the reduced $f$ of a graph $G$ to be the minimum integer $k$ such that there is a reduction sequence of $G$ in which every red graph has $f$ at most $k$. Our focus is on graph classes with bounded reduced bandwidth, which implies and is stronger than bounded twin-width (reduced maximum degree). We show that every proper minor-closed class has bounded reduced bandwidth, which is qualitatively stronger than an analogous result of Bonnet et al.\ for bounded twin-width. In many instances, we also make quantitative improvements. For example, all previous upper bounds on the twin-width of planar graphs were at least $2^{1000}$. We show that planar graphs have reduced bandwidth at most $466$ and twin-width at most $583$. Our bounds for graphs of Euler genus $γ$ are $O(γ)$. Lastly, we show that fixed powers of graphs in a proper minor-closed class have bounded reduced bandwidth (irrespective of the degree of the vertices). In particular, we show that map graphs of Euler genus $γ$ have reduced bandwidth $O(γ^4)$. Lastly, we separate twin-width and reduced bandwidth by showing that any infinite class of expanders excluding a fixed complete bipartite subgraph has unbounded reduced bandwidth, while there are bounded-degree expanders with twin-width at most 6.

研究の動機と目的

• 縮小列における最大次数ではなく帯域幅に注目することで、二重幅を強化する新しいグラフパラメータとして帯域幅の縮小を定義し、その性質を研究すること。
• すべての適切なマイナー閉グラフクラスが有界な帯域幅の縮小を持つこと、これは有界な二重幅よりも定性的に強い条件であることを確立すること。
• 特に平面グラフやオイラー・ジェネルスが有界なグラフといった特定のグラフクラスについて、帯域幅の縮小および二重幅の改善された定量的上界を提供すること。
• グラフのべきや補グラフの文脈において、帯域幅の縮小と他のグラフパラメータとの関係を調査すること。
• 無限個のグラフ族を構成することで、帯域幅の縮小が無限大に発散するが二重幅が有界であるような例を提示し、二つのパラメータの間には厳密な階層関係があることを示すこと。

提案手法

• 縮小列を、マージされた頂点の一方にのみ接続する辺を赤色に塗り、各段階で赤グラフを形成する頂点の縮約の列として定義する。
• 縮小列全体にわたる赤グラフの最大帯域幅の最小値として、帯域幅の縮小を定義する。
• 構造的グラフ理論およびマイナー閉性の性質を用いて、マイナー閉クラスにおける縮小列における赤グラフの帯域幅を制限する。
• グラフのスパarseness理論および埋め込み理論の技術を応用し、平面グラフやオイラー・ジェネルスが有界なグラフのための境界を導出する。既知の分解定理を活用する。
• 平面グラフおよびマップグラフに対して、パスに類似した赤グラフ構造を用いて、所定の帯域幅の縮小境界に到達する明示的な縮小列を構成する。
• 極値的グラフ理論および拡張グラフ（expander graph）の構成を用いて、二重幅が有界であっても帯域幅の縮小が無限大に発散しうることを示し、二つのパラメータの間の厳密な分離を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帯域幅の縮小は、マイナー閉グラフクラスにおいて二重幅よりも定性的に強い測度として機能するか？
• RQ2 平面グラフおよびオイラー・ジェネルスが有界なグラフクラスにおける帯域幅の縮小の最もきめ細かい上界は何か？
• RQ3 適切なマイナー閉クラスに属するグラフのべきは、有界な帯域幅の縮小を持つだろうか？ もしそうなら、定量的上界は何か？
• RQ4 二重幅と同様に、帯域幅の縮小に関連する自然なグラフパラメータは存在するだろうか？ 特に、コンポonent二重幅とクリーク幅の既知の関係に類似した関係が存在するか？
• RQ5 ある固定された完全二部グラフを部分グラフとして含まない単調グラフクラスにおいて、二重幅が有界であっても帯域幅の縮小が無限大に発散しうるか？

主な発見

• すべての適切なマイナー閉グラフクラスが有界な帯域幅の縮小を持つ。これは、有界な二重幅よりも強い条件である。
• 平面グラフは帯域幅の縮小が466以下、二重幅が583以下であり、従来の2^1000オーダーの上界よりも顕著に改善されている。
• オイラー・ジェネルスγのグラフは帯域幅の縮小がO(γ)であり、ジェネルスに線形依存する。
• 適切なマイナー閉クラスに属するグラフのべきは、有界な帯域幅の縮小を持つ。特に、オイラー・ジェネルスγのマップグラフでは帯域幅の縮小がO(γ⁴)である。
• 最大次数が有界な無限個の拡張グラフ族が存在し、その二重幅は6以下だが帯域幅の縮小は無限大に発散する。これにより、帯域幅の縮小は二重幅よりも厳密に強いことが示された。
• n頂点グラフで、(≥n)-部分分割を含むクラスは帯域幅の縮小が2以下である。これは、帯域幅の縮小が除外二部グラフマイナークラスにおける線形拡張と密接に関係している可能性を示唆している。