[論文レビュー] Reduced order models for nonlinear radiative transfer based on moment equations and POD/DMD of Eddington tensor

Joseph M. Coale, Dmitriy Y. Anistratov|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 55被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、モーメント方程式とPOD、DMD、DMD-EによるEddingtonテンソルのデータ駆動的近似を用いて、非線形熱放射移動に対する低次元モデル（ROM）の新規クラスを提示する。ROMは低ランク表現で高い精度を達成し、ランクを増加させることで誤差が収束し、DMDの変種を上回る精度を維持しながら保存則を守る。

ABSTRACT

A new group of reduced-order models (ROMs) for nonlinear thermal radiative transfer (TRT) problems is presented. They are formulated by means of the nonlinear projective approach and data compression techniques. The nonlinear projection is applied to the Boltzmann transport equation (BTE) to derive a hierarchy of low-order moment equations. The Eddington (quasidiffusion) tensor that provides exact closure for the system of moment equations is approximated via one of several data-based methods of model-order reduction. These methods are the (i) proper orthogonal decomposition, (ii) dynamic mode decomposition (DMD), (iii) an equilibrium-subtracted DMD variant. Numerical results are presented to demonstrate the performance of these ROMs for the simulation of evolving radiation and heat waves. Results show these models to be accurate even with very low-rank representations of the Eddington tensor. As the rank of the approximation is increased, the errors of solutions generated by the ROMs gradually decreases.

研究の動機と目的

• 非線形熱放射移動（TRT）の計算効率が高く、かつ高い精度を有する低次元モデル（ROM）の開発を目的とする。
• マルチスケール・マルチフィジックス問題におけるボルツマン輸送方程式（BTE）の解法にかかる高コストを低減することを目的とする。
• POD、DMD、DMD-Eといったデータ駆動的モデル次元削減技術を活用し、モーメントベースのTRT系におけるEddingtonテンソルの近似を目的とする。
• パラメータ化されたROMの構築により、パラメータスキャンや設計研究を効率的に行えるようにすることを目的とする。
• 離散化されたモーメント方程式における放射エネルギーおよび運動量の保存を保証することを目的とする。

提案手法

• ボルツマン輸送方程式（BTE）の非線形射影から導かれる低次のモーメント方程式を用いて、マルチレベル準拡散（QD）系を定式化する。
• グループEddingtonテンソルおよびスペクトル平均Eddingtonテンソルを用いてモーメント系を閉じ、有効なグレー方程式を得る。
• 固有直交分解（POD）、動的モード分解（DMD）、および平衡項を差し引いたDMDの変種（DMD-E）を用いて、Eddingtonテンソルに対するデータ駆動的次元削減を適用する。
• 高精度BTE解からのトレーニングデータを用いて、全位相空間および時間領域におけるEddingtonテンソルの低ランク近似を実施する。
• 放射エネルギーおよび運動量の保存則を保つために、保存則を満たすスキームを用いてモーメント方程式を離散化する。
• 相対誤差許容誤差ξrelを用いて低ランク近似のランクを制御し、調整可能な精度を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動的モデル次元削減技術は、最小限の精度損失で非線形TRT問題におけるEddingtonテンソルを効果的に近似できるか？
• RQ2 POD、DMD、DMD-Eに基づくROMの精度は、Eddingtonテンソル近似のランクが変化する際にどのように比較されるか？
• RQ3 ROMにおける放射温度およびエネルギーの誤差は、相対誤差許容誤差ξrelを減少させることで線形に収束するか？
• RQ4 顕著な次元削減を達成しながら、ROMはエネルギーおよび運動量の保存を維持できるか？
• RQ5 DMDベースのROMは低ランク近似において数値的安定性を示すか？また、PODベースのROMと比較してその特性はいかなるか？

主な発見

• PODベースのROMは、全テストされたξrel値において一貫して最小の誤差を示し、DMDおよびDMD-Eの変種を上回った。
• ξrel = 10−2および10−4の条件下で、PODおよびDMD-Eを用いたDDET ROMは、最小ランクにおいて同等の精度を達成し、優れた低ランク性能を示した。
• POD ROMでは、放射温度およびエネルギーの誤差がξrelの減少に伴い線形に収束し、ランクの増加に伴う誤差低減が予測可能であることが確認された。
• DMD ROMはPODよりわずかに高い誤差を示したが、ξrel = 10−10まで同程度の収束速度を示した。その後、数値誤差が支配的となった。
• DMD-E ROMは低ランクで数値的不安定性を示し、ξrelを減少させても誤差の収束が観察されなかった。
• すべてのROMは、低ランクにおいて温度およびエネルギーの誤差が空間的・時間的に一様であり、ドメイン全体で一貫した性能を示した。