[논문 리뷰] Reduced order models for the incompressible Navier-Stokes equations on collocated grids using a 'discretize-then-project' approach

Sabrina Kelbij Star, Benjamin Sanderse외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 14.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 83인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 압축성 없는 나비에-스토크스 유동에 대해 격자에 근거한 '이산화-다음에 투영' 기반의 새로운 감소 차수 모델(Reduced Order Model, ROM)을 제안한다. 이 방법은 압력 안정화 또는 경계 제어 기법의 필요성을 피한다. 완전히 이산화된 유한체적 방법(FVM) 기반의 전체 차수 모델(FOM)을 감소 기저에 투영함으로써, 정확한 비산성 속도장과 높은 속도 향상을 달성한다. 특히 비일관된 유량 시간 이산화 방법을 사용할 경우 개방 캐비티 유동에서 최대 100배의 속도 향상이 관찰되었다.

ABSTRACT

A novel reduced order model (ROM) for incompressible flows is developed by performing a Galerkin projection based on a fully (space and time) discrete full order model (FOM) formulation. This 'discretize-then-project' approach requires no pressure stabilization technique (even though the pressure term is present in the ROM) nor a boundary control technique (to impose the boundary conditions at the ROM level). These are two main advantages compared to existing approaches. The fully discrete FOM is obtained by a finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equations on a collocated grid, with a forward Euler time discretization. Two variants of the time discretization method, the inconsistent and consistent flux method, have been investigated. The latter leads to divergence-free velocity fields, also on the ROM level, whereas the velocity fields are only approximately divergence-free in the former method. For both methods, accurate results have been obtained for test cases with different types of boundary conditions: a lid-driven cavity and an open-cavity (with an inlet and outlet). The ROM obtained with the consistent flux method, having divergence-free velocity fields, is slightly more accurate but also slightly more expensive to solve compared to the inconsistent flux method. The speedup ratio of the ROM and FOM computation times is the highest for the open cavity test case with the inconsistent flux method.

연구 동기 및 목표

• 압력 안정화 및 경계 제어 기법을 필요로 하지 않는 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식을 위한 감소 차수 모델(ROM)을 개발하는 것.
• 일관된 유량 시간 이산화 방법을 사용하여 ROM에서 이산적 비산성 속도장을 확보하는 것.
• 산업용 CFD 코드에서 일반적으로 사용되는 격자에 적합한 효율적이고 정확하며 안정적인 ROM을 제공하는 것.
• 리드-드라이브 및 개방 캐비티를 포함한 다양한 경계 조건을 가진 벤치마크 시험 케이스에서 방법의 성능을 시험하는 것.
• 비일관된 유량과 일관된 유량 ROM 형식 간의 속도 향상과 정확도의 상호 교환 관계를 정량화하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 전체 차수 모델(FOM)을 공간 및 시간에 대해 완전히 이산화한 후 감소 기저에 투영하는 '이산화-다음에 투영' 접근 방식을 사용한다.
• 격자에 기반한 유한체적 방법과 전진 오일러 시간 스텝을 사용하며, 두 가지 변형이 있다: 비일관된 유량(속도는 세포 중심에만 존재)과 일관된 유량(면 속도가 이산 비산성 조건을 만족하도록 강제됨).
• 적절한 직교 분해(POD)를 사용하여 FOM 스냅샷에서 감소 기저를 생성한다.
• 갈레르킨 투영을 완전히 이산화된 FOM 방정식에 적용하여 운동량 방정식과 연속성 방정식을 모두 감소 기저 공간에 투영한다.
• 경계 조건은 FOM의 이산 경계 벡터를 감소 기저에 투영함으로써 ROM 수준에서 구현되며, 패널티 함수나 리프팅 함수의 필요성을 제거한다.
• 결과로 얻어진 ROM은 감소된 자유도를 가진 채로 실시간으로 해결되며, 이는 빠른 파rametric 및 실시간 시뮬레이션을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 없는 나비에-스토크스 유동에 대해 압력 안정화 기법이 필요 없이 격자 기반 ROM을 구성할 수 있는가?
• RQ2 패널티 함수나 리프팅 함수와 같은 경계 제어 기법 없이 ROM에서 경계 조건을 정확하게 구현할 수 있는가?
• RQ3 비일관된 유량과 일관된 유량 시간 이산화 방법의 선택이 ROM의 정확도와 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양한 유동 구성 조건에서 ROM의 FOM 대비 달성 가능한 속도 향상은 어느 정도인가?
• RQ5 감소 기저 모드의 수가 ROM의 사전 계산 단계와 온라인 단계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일관된 유량 방법을 사용한 ROM은 이산 수준에서 비산성 속도장을 생성하여 비일관된 유량 방법보다 略적으로 높은 정확도를 달성한다.
• 비일관된 유량 방법은 개방 캐비티 시험 케이스에서 최대 100배의 속도 향상을 기록하여 리드-드라이브 캐비티 케이스를 초월하는 성능을 보였다.
• 일관된 유량 방법은 면 속도를 위한 추가 방정식을 포함하여 略적으로 더 높은 계산 비용을 유발하지만, 더 나은 안정성과 정확도를 유지한다.
• 이 방법은 압력 안정화 및 경계 제어 기법의 필요성을 성공적으로 제거하여 구현을 단순화하고 강건성을 향상시켰다.
• 고모드 수에서 사전 계산 단계가 지배적이 되지만, 테스트된 구성에서는 이는 제한 요소가 되지 않았다.
• 이 방법은 점도와 같은 시간적 및 물리적 매개변수를 포함한 파arametric 문제로 확장 가능하며, 분리 가능한 연산자를 통해 가능하다.