[論文レビュー] Reducibility of $n$-ary semigroups: from quasitriviality towards idempotency

Miguel Couceiro, Jimmy Devillet+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2019

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、少なくとも $n-1$ 個の入力が等しいときに準トランジティブである associative $n$-ary 操作の還元可能性を調査する。このような操作—特にクラス $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ に属するもの—が二項の associative 操作に還元可能であることを証明し、それらが準トランジティブな半群と $n-1$ を割り切る指数をもつアーベル群から構成されることを完全に特徴づけている。主な貢献は、このクラスの完全な構造的特徴づけと還元可能性の証明であり、準トランジティブおよびイデムポテンである操作に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

Let $X$ be a nonempty set. Denote by $\mathcal{F}^n_k$ the class of associative operations $F\colon X^n o X$ satisfying the condition $F(x_1,\ldots,x_n)\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ whenever at least $k$ of the elements $x_1,\ldots,x_n$ are equal to each other. The elements of $\mathcal{F}^n_1$ are said to be quasitrivial and those of $\mathcal{F}^n_n$ are said to be idempotent. We show that $\mathcal{F}^n_1=\cdots =\mathcal{F}^n_{n-2}\subseteq\mathcal{F}^n_{n-1}\subseteq\mathcal{F}^n_n$ and we give conditions on the set $X$ for the last inclusions to be strict. The class $\mathcal{F}^n_1$ was recently characterized by Couceiro and Devillet, who showed that its elements are reducible to binary associative operations. However, some elements of $\mathcal{F}^n_n$ are not reducible. In this paper, we characterize the class $\mathcal{F}^n_{n-1}\setminus\mathcal{F}^n_1$ and show that its elements are reducible. We give a full description of the corresponding reductions and show how each of them is built from a quasitrivial semigroup and an Abelian group whose exponent divides $n-1$.

研究の動機と目的

• クラス $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ を特徴づけること、すなわち、少なくとも $n-1$ 個の入力が等しいときには $F(x_1,\dots,x_n) \in \{x_1,\dots,x_n\}$ を満たすが、全体としては準トランジティブでない associative $n$-ary 操作である。
• このクラスが空でないための、基礎となる集合 $X$ の濃度に関する必要十分条件を確立すること。
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ に属するすべての操作が associative な二項操作に還元可能であることを証明すること。
• 還元の完全な構造的記述を提供し、それらが準トランジティブ半群と $n-1$ を割り切る指数をもつアーベル群から生じることを示すこと。

提案手法

• クラス $F_n^k$ を、少なくとも $k$ 個の入力が等しいときに準トランジティブである associative $n$-ary 操作として定義する。
• フィルトレーション $F_n^1 \subseteq F_n^2 \subseteq \cdots \subseteq F_n^n$ を分析するため、入れ子構造 $D_n^k \supseteq D_n^{k+1}$ を用いる。
• $n \geq 3$ のとき $F_n^1 = F_n^{n-2}$ を証明し、フィルトレーションを三つの異なるクラスに簡略化する。
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ を構造的分解により特徴づける：操作は準トランジティブ半群と $n-1$ を割り切る指数をもつアーベル群から構成される。
• 操作が恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$ を満たすことを示し、これにより二項 associative 操作への還元可能性を確立する。
• 中立元の概念と Dudek–Mukhin の還元可能性基準を用いて、構造と二項還元との関連を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少なくとも $n-1$ 個の入力が等しいときに準トランジティブであるが、全体としては準トランジティブでない associative $n$-ary 操作の正確な構造は何か？
• RQ2 集合 $X$ に対して、クラス $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ が空でないための条件は何か？
• RQ3 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ に属するすべての操作が associative な二項操作に還元可能か？
• RQ4 このような操作の還元を、既知の代数的構造の観点から完全にどのように記述できるか？
• RQ5 基礎となるアーベル群の指数が、これらの操作の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ が空でないのは $|X| \geq n$ かつ $n \geq 3$ のときに限られ、$|X| \geq n$ が $F_n^{n-1} \setminus F_n^1 \neq \emptyset$ であるための必要十分条件である。
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ に属するすべての操作が、恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$ を用いて associative な二項操作に還元可能であることが示された。
• 還元は準トランジティブ半群と $n-1$ を割り切る指数をもつアーベル群から構成され、群は非中立元の集合に作用する。
• $|X| \geq n$ のとき、クラス $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ は $F_n^1$ よりも厳密に大きい。また、$|X\geq n$ のとき、包含関係 $F_n^{n-1} \subseteq F_n^n$ も厳密である。
• このような操作の構造は完全に特徴づけられている：それは部分集合上の準トランジティブ二項演算と、残りの要素に作用する $n-1$ を割り切る指数をもつ群作用によって決定される。
• 本稿は、先行研究に依存しない別証明を提供し、恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$ を還元可能性への鍵となる基準として用いる。