[論文レビュー] Reducibility of quantum harmonic oscillator on $ R^d$ with differential and quasi-periodic in time potential

Zhenguo Liang, Zhiguo Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2017

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^d$ 上の線形シュレーディンガー方程式が調和振動子ポテンシャルと小さな$t$-準周期的ポテンシャル$V(\omega t,x)$を持つ場合、$V$ が時間に関して有限回微分可能である、具体的には$V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$ であると仮定した下で、その還元可能性を確立している。主な結果は、ほとんどの周波数ベクトル$\omega$に対して、系が自己同次的ハミルトニアン系に還元されることであり、これはすべての解が時間に関してほぼ周期的であり、適切なソボレフノルムで一様に有界であることを示唆する。

ABSTRACT

We improve the results by Grébert and Paturel in \cite{GP} and prove that a linear Schrödinger equation on $R^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small $t$-quasiperiodic potential as $$ { m i}u_t - Δu+|x|^2u+\varepsilon V(ωt,x)u=0, \ (t,x)\in R imes R^d $$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in R^n$. The new point is that the potential $V(θ,\cdot )$ is only in ${\mathcal{C}^β}(T^n, \mathcal{H}^{s}(R^d))$ with $β$ large enough. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in some suitable Sobolev norms.

研究の動機と目的

• 時間に関して有限回微分可能な場合に、時間準周期的ポテンシャルを持つ量子調和振動子の還元可能性結果を拡張すること。
• 通常は解析的またはゲヴレークラスの正則性を要するKAM型結果のギャップを埋めるために、ポテンシャルに弱い$\mathcal{C}^\beta$正則性仮定の下で還元可能性を証明すること。
• ほとんどの周波数ベクトル$\omega$に対して、調和的および準周期的ポテンシャルを持つ線形シュレーディンガー方程式が自己同次的系に還元されることを示すこと。
• 弱い正則性条件の下で、解がソボレフノルムで有界であり、時間に関してほぼ周期的であることを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、非自己同次的系を自己同次的系に変換する準周期的変換を構成するため、KAM型反復スキームを用いる。
• ヒルベルト空間$L^2(\mathbb{R}^d)$は、調和振動子$T = -\Delta + |x|^2$ を対角化するヘルミート基底関数$\Phi_{j,l}$ を用いて定義され、正則性を測るための重み付き$\ell^2$空間$\ell^2_s$ を導入する。
• ポテンシャル$V$ は、ソボレフ空間$\mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d)$値をとる時間に関して$\beta$-ホルダー連続であると仮定し、解析性ではなく有限回微分可能性を許容する。
• 証明は、変換作用素$\Psi_\omega$ のノルムを$\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$ で推定し、$\varepsilon$ が小さい場合にそのノルムが小さいことを示すことで成り立つ。これは、主要級級数の議論を用いる。
• 重要な技術的道具は、導関数の成長を制御するためのコーシー推定と周波数空間のダイアディック分解を用いることである。
• 最終的な結果は、剰余項が$\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$ として減少することを示すことによって得られ、正則性条件の下でKAM反復が収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが解析的ではなく、有限回微分可能（$\mathcal{C}^\beta$）である場合に、準周期的ポテンシャルを持つ量子調和振動子の還元可能性を確立できるか？
• RQ2 ポテンシャル$V(\omega t,x)$ が時間に関して最小限どの程度の正則性を要すれば、解がソボレフノルムで有界であり、還元可能であるか？
• RQ3 ポテンシャルが有限回微分可能である場合、KAM反復スキームはどのように振る舞い、その収束速度はどのようになるか？
• RQ4 $\mathcal{C}^\beta$-正則な準周期的ポテンシャルを持つ線形シュレーディンガー方程式に対して、ほぼ周期的解を保証できるか？
• RQ5 還元可能性の測度が正則性パrameter$\beta$ および$\varepsilon$ の小ささにどのように依存するか？

主な発見

• 条件$V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$ で$\beta$ が十分に大きいとき、周波数ベクトル$\omega \in \mathbb{R}^n$ の全測度集合に対して、系は自己同次的ハミルトニアン系に還元可能である。
• 還元を実現する変換$\Psi_\omega$ はフレシェ微分可能であり、そのノルムが$\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$ で$C\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$ で有界であることが示され、KAM反復の収束を保証する。
• 元の偏微分方程式のすべての解は、時間に関してほぼ周期的であり、すべての時間で$\mathcal{H}^{s'}$-ノルムで有界のまま保たれる。これは、自己同次的系への還元のおかげである。
• GrébertとPaturel [22] の結果を改善し、$V$ の正則性要件を解析的またはゲヴレークラスから、$\beta$ が十分に大きい有限回微分可能（$\mathcal{C}^\beta$）に緩和した。
• 主な級数とダイアディック分解を用いることで、ポテンシャルが解析的でない場合でもKAMスキームが収束することを確立した。
• 収束速度が$\epsilon$ と$\beta$ にどのように依存するかを定量的に示し、$\beta > \frac{9}{2}\mu$ であれば指数が正のまま保たれることを示した。