[論文レビュー] Reducing the rank of a matroid

Gwenaël Joret, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、マトロイドにおけるランク還元問題を調査し、交差マトロイドの場合、この問題が最も密集する $k$-部分グラフ問題と同程度に近似が難しいことを示しており、強い近似不能性の結果を示している。2つの分割マトロイドの共通部分集合についてもNP困難性を証明し、B. シメオが提起した未解決問題を解決して、二部グラフ上での最大頂点被覆問題がNP困難であることを示している。

ABSTRACT

We consider the rank reduction problem for matroids: Given a matroid M and an integer k, find a minimum size subset of elements of M whose removal reduces the rank of M by at least k. When M is a graphical matroid this problem is the minimum k-cut problem, which admits a 2-approximation algorithm. In this paper we show that the rank reduction problem for transversal matroids is essentially at least as hard to approximate as the densest k-subgraph problem. We also prove that, while the problem is easily solvable in polynomial time for partition matroids, it is NP-hard when considering the intersection of two partition matroids. Our proof shows, in particular, that the maximum vertex cover problem is NP-hard on bipartite graphs, which answers an open problem of B. Simeone.

研究の動機と目的

• グラフィカルマトロイドを超えるマトロイドクラスにおけるランク還元問題の計算複雑性を研究すること。
• 交差マトロイドにおけるランク還元問題が、良い近似アルゴリズムを有するかどうかを特定すること。
• B. シメオが提起した未解決問題である、二部グラフ上での最大頂点被覆問題がNP困難であるかどうかを解明すること。
• 還元を用いてランク還元問題と最も密集する $k$-部分グラフ問題との間の関係を確立すること。
• 2つの分割マトロイドの共通部分集合におけるランク還元の複雑性を分析すること。

提案手法

• 最も密集する $k$-部分グラフ問題から交差マトロイドにおけるランク還元問題への還元を構築し、ランク還元問題に対する $O(m^\varepsilon)$-近似が可能であれば、最も密集する $k$-部分グラフ問題に対しても $O(n^{4\varepsilon})$-近似が可能であることを示した。
• 与えられたグラフ $H$ から二部グラフ $G$ を構築し、要素を頂点と辺として扱うことで、交差マトロイド枠組み内で最大頂点被覆問題をモデル化した。
• 解析を簡素化し、解の反復的改善を可能にするために「よい」部分頂点被覆と「a-性質」を導入した。
• 構造的主張を用いて、未被覆の辺の数を $H$ の頂点被覆に基づく辺の種別と関連付け、式 $c(X) = ||G|| - e_1(X) - 2e_2(X) - 3e_3(X)$ を導出した。
• $H$ に $\ell$-クリークが存在することと、ランク還元問題で最適値 $||G|| - \binom{\ell}{2}$ を達成できることの同値性を証明した。
• 組合せ的境界と補題 4.2 を用いて、$f(x,y,z) \geq \binom{\ell}{2}$ を示し、最大頂点被覆の最適性条件を導いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差マトロイドにおけるランク還元問題は、最も密集する $k$-部分グラフ問題と同程度に近似が難しいか？
• RQ2 交差マトロイドにおけるランク還元問題は、定数倍近似アルゴリズムを有するか？
• RQ3 B. シメオが予想したように、二部グラフ上での最大頂点被覆問題はNP困難か？
• RQ4 2つの分割マトロイドの共通部分集合におけるランク還元問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 基礎となるグラフの構造と、交差マトロイドにおけるランク還元問題の最適解との間の関係は何か？

主な発見

• 交差マトロイドにおけるランク還元問題は、最も密集する $k$-部分グラフ問題と同程度に近似が難しい。具体的には、ランク還元問題に対する $O(m^\varepsilon)$-近似が可能であれば、最も密集する $k$-部分グラフ問題に対しても $O(n^{4\varepsilon})$-近似が可能であることを示唆している。
• 最大頂点被覆問題は二部グラフ上でもNP困難である。これは、B. シメオが提起した未解決問題を解決した。
• 分割マトロイドにおけるランク還元問題は多項式時間で解けるが、2つの分割マトロイドの共通部分集合ではNP困難になる。
• 構築された交差マトロイドにおけるランク還元問題の最適解は、元のグラフ $H$ に $\ell$-クリークが存在することと正確に一致する。これにより、クリーク問題からランク還元問題への多項式時間還元が可能である。
• ランク還元問題の最適値が $||G|| - \binom{\ell}{2}$ であることは、基礎となるグラフ $H$ に $\ell$-クリークが存在する場合に限り成り立つ。
• 未被覆の辺の数と補助グラフ内の辺の種別との間の密接な関係を、式 $c(X) = ||G|| - e_1(X) - 2e_2(X) - 3e_3(X)$ を用いて形式化し、緊密な関係を確立した。