[論文レビュー] Reduction and duality in generalized geometry

Shengda Hu|ArXiv.org|Dec 29, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化されたケーラー幾何における非可換T双対性とHフラックスの幾何的実現を、一般化されたケーラー還元が、ポisson Lie群作用のもとで片方の一般化された複素構造しか保存しない場合でも存在することを示すことによって確立する。T双対性とHフラックスは、因子的（factorizable）なポアソンリーダーブル群作用の還元として自然に生じ、双対性はコウラン代数的構造と、B変換および接続形式を含む双対性方程式を満たすねじれ形式によって符号化される。

ABSTRACT

Extending our reduction construction in \cite{Hu} to the Hamiltonian action of a Poisson Lie group, we show that generalized Kähler reduction exists even when only one generalized complex structure in the pair is preserved by the group action. We show that the constructions in string theory of the (geometrical) $T$-duality with $H$-fluxes for principle bundles naturally arise as reductions of factorizable Poisson Lie group actions. In particular, the group may be non-abelian.

研究の動機と目的

• ストリング理論におけるHフラックス付きT双対性の一般化幾何を用いた幾何的実現を提供すること。
• ポアソンリーダーブル群作用のもとで片方の一般化された複素構造しか保存しない場合にも、一般化されたケーラー還元を拡張すること。
• 非可換群であっても、因子的ポアソンリーダーブル群作用の還元として、Hフラックス付きT双対性が自然に生じることを示すこと。
• 還元された空間同士の双対性を、コウラン代数的構造と特定の双対性方程式を満たすねじれ形式によって確立すること。
• 物理学の文献におけるT双対性群と標準的な双対性条件が、還元フレームワークの幾何的結果として回復されることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンのモーメント写像還元をシンプレクティック幾何から一般化された複素幾何およびケーラー幾何へと、ポアソンリーダーブル群作用を用いて適応する。
• 一般化された複素またはケーラー多様体上で、ポアソンリーダーブル群Gとその双対群Ĝの同時ハミルトニアン作用として、双ハミルトニアン作用を定義する。
• モーメント写像のレベル集合を群作用で商取ることで還元空間を構成し、滑らかさを保証するため、適切かつ自由な作用であることを保証する。
• 因子的r行列に関連するマンイン三重項構造を用いて、グローバルな二重群構造と拡張群G̃の作用を定義する。
• 還元空間上のねじれ形式を単純化するためにB変換を適用し、双対空間上のHフラックスの間の双対性方程式を導出する。
• 双対性方程式 $ \hat{\pi}^*\hat{h} - \pi^*h = d(\hat{\Theta} \wedge \Theta) $ を導出し、物理学者の文献における標準的なT双対性条件と一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソンリーダーブル群作用のもとで片方の一般化された複素構造しか保存しない場合でも、一般化されたケーラー還元を定義できるか？
• RQ2 Hフラックス付きT双対性は、一般化されたケーラー幾何においてどのように幾何的に実現できるか？
• RQ3 因子的ポアソンリーダーブル群とその二重群は、T双対性の実現において果たす役割は何か？
• RQ4 双対な還元空間上のねじれ形式どうしの関係は何か？そして、この関係は幾何的に導出可能か？
• RQ5 Hフラックスと接続形式を含む標準的なT双対性条件は、仮定ではなく還元フレームワークの結果として回復可能か？

主な発見

• 片方の一般化された複素構造しか保存しない場合でも、一般化されたケーラー還元が存在し、両方を保存する必要があるという従来の結果を拡張する。
• Hフラックス付きT双対性は、因子的ポアソンリーダーブル群作用の還元として、非可換群であっても自然に生じる。
• 因子的ポアソンリーダーブル群の双ハミルトニアン作用の還元空間には、自然な有効なコウラン代数的構造が備わる。
• B変換を施した後、双対な還元空間上のねじれ形式は $ \hat{\pi}^*\hat{h} - \pi^*h = d(\hat{\Theta} \wedge \Theta) $ を満たし、標準的なT双対性条件と一致する。
• 物理学の文献におけるT双対性群が、幾何的還元フレームワークの結果として回復される。
• 還元空間間の双対性はコウラン双対性として定義され、一般化幾何におけるT双対性の幾何的解釈が与えられる。