[論文レビュー] Reductions fo some families of two-dimensional crystalline Galois representations

Gerasimos Dousmanis|arXiv (Cornell University)|May 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Q_pの非分岐有限拡大上での無限個のクリスタリンガロア表現を生じる、エタール (Φ,Γ)-加群の解析的族を構成する。任意の与えられた既約で有効な2次元クリスタリン表現（ホッジ＝テイト重み {0, -k_i} を持つ）を含むようなそのような族の存在を証明し、それらの半簡約化された mod p 細分を計算する。

ABSTRACT

Let K_{f} be the finite unramified extension of Q_{p} of degree f and E any finite large enough coefficient field containing K_{f}. We construct analytic families of etale (Phi,Gamma)-modules which give rise to families of crystalline E-representations of the absolute Galois group G_{K_{f}} of K_{f}. For any irreducible effective two-dimensional crystalline E-representation of G_{K_{f}} with labeled Hodge-Tate weights {0,-k_{i}}_{{ au}_{i}} induced from a crystalline character of G_{K_{2f}}, we construct an infinite family of crystalline E-representations of G_{K_{f}} of the same Hodge-Tate type which contains it. As an application, we compute the semisimplified mod p reductions of the members of each such family.

研究の動機と目的

• Q_pの非分岐有限拡大上でのエタール (Φ,Γ)-加群の解析的族を構成すること。
• 与えられた既約表現と同一のホッジ＝テイト型を持つ、無限個のクリスタリン E-表現の族を生成すること。
• 各族に属する表現の半簡約化された mod p 細分を計算すること。
• 誘導された特徴から K_{2f} から K_f への上昇を用いて、クリスタリン表現に関する結果を拡張すること。

提案手法

• エタール (Φ,Γ)-加群の解析的族を用いて、ガロア表現の族をパrametrizeすること。
• G_{K_{2f}} のクリスタリン特徴を用いて、K_f 上の表現を誘導すること。
• Φ,Γ)-加群の理論を応用し、固定されたホッジ＝テイト重み {0, -k_i} を持つ K_f 上の族を構成すること。
• ホッジ＝テイト重みのラベル付けを用いて、族全体にわたる一貫性を保証すること。
• 絶対的ガロア群 G_{K_f} の構造を用いて、クリスタリン性と既約性を保証すること。
• 族の構造とその還元性質を用いて、半簡約化された mod p 細分を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた既約表現と同一のホッジ＝テイト型を持つ、無限個のクリスタリンガロア表現の族を構成できるか？
• RQ2 K_{2f} から K_f に上昇させたとき、K_{2f} から誘導されたクリスタリン表現はどのように振る舞うか？
• RQ3 このようなクリスタリン表現の族の mod p 細分の構造は何か？
• RQ4 解析的族としての (Φ,Γ)-加群を用いて、これらの族を効果的にパrametrizeできるか？
• RQ5 ラベル化されたホッジ＝テイト重みは、これらの族の構成と分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、ホッジ＝テイト重み {0, -k_i} を持つ任意の既約で有効な2次元クリスタリン表現を含む、G_{K_f} の無限個のクリスタリン E-表現の族を構成する。
• その族は、K_f 上のエタール (Φ,Γ)-加群の解析的族によってパrametrizeされる。
• 各族に属する表現の半簡約化された mod p 細分が明示的に計算されている。
• 構成は、G_{K_{2f}} からのクリスタリン特徴の誘導に基づいている。
• ホッジ＝テイト重み {0, -k_i} は、族のすべてのメンバーにわたって保存されている。
• この方法により、族に属するすべての表現がクリスタリンであり、元の表現と同じ型であることが保証されている。