[論文レビュー] Redundant operators in the exact renormalisation group and in the f(R) approximation to asymptotic safety

Juergen A. Dietz, Tim R. Morris|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、漸近的安全プログラムにおける量子重力のf(R)近似および正確なレノルミゼーション群における冗長演算子の役割を調査する。標準的なf(R)近似—4次元球面背景を用いて導出されたもの—では、固定点解が物理的真空解を支持せず、すべての固有演算子が冗長化され、理論空間が1点に収縮することが示された。これは摂動の物理的解釈を損なうものであり、この文脈におけるf(R)近似の妥当性を疑問視するものである。

ABSTRACT

In this paper we review the definition and properties of redundant operators in the exact renormalisation group. We explain why it is important to require them to be eigenoperators and why generically they appear only as a consequence of symmetries of the particular choice of renormalisation group equations. This clarifies when Newton's constant and or the cosmological constant can be considered inessential. We then apply these ideas to the Local Potential Approximation and approximations of a similar spirit such as the f(R) approximation in the asymptotic safety programme in quantum gravity. We show that these approximations can break down if the fixed point does not support a `vacuum' solution in the appropriate domain: all eigenoperators become redundant and the physical space of perturbations collapses to a point. We show that this is the case for the recently discovered lines of fixed points in the f(R) flow equations.

研究の動機と目的

• f(R)近似における連続的な固定点の線と、量子化された固有演算子を伴う離散的固定点という標準的期待との間の明らかな矛盾を解消すること。
• 4次元球面背景におけるf(R)近似が、物理的に不適切な振る舞いを示す理由、特に真空解の不在を調査すること。
• 関数的レノルミゼーション群フローにおける冗長演算子の役割、特に量子重力切断における役割を明確化すること。
• 再パrametrization不変性のため、固有演算子がいつ物理的に意味を持たなくなるかの条件を特定すること。
• 曲率の定義域を負の値に拡張することで、非退化な物理的理論空間が回復するかを検討すること。

提案手法

• d次元球面上への有効平均作用の投影から導かれる正確なレノルミゼーション群フロー方程式を分析し、f(R)切断に注目する。
• 場の再定式化を生成する固有演算子として定義される冗長演算子の形式的枠組みを適用し、その物理的関連性を評価する。
• 大Rにおける固定点解f*(R)の振る舞いと負の曲率領域における振る舞いを、漸近的解析を用いて調査する。
• 定数曲率におけるユークリッド運動方程式の解E_d(R)=0（すなわち、物理的真空解）の存在を評価し、固有演算子が物理的に異なるかを判断する。
• BenedettiやCodello-Percacci-Rahmedeなどの異なるフロー方程式の形式を比較し、一貫性および有効範囲を評価する。
• 対称性およびWard恒等式からの診断ツールを適用し、切断が物理的内容を保存しているかをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ4次元球面上のf(R)近似は、標準的な漸近的安全像とは対照的に、連続的な固定点の線と連続的な固有演算子スペクトルを生じるのか？
• RQ2 再パrametrization不変性のため、f(R)近似における固有演算子がいつ物理的に冗長化されるのか？
• RQ3 曲率の定義域を負の値に拡張することで、理論空間が非退化となる可能性はあるか？
• RQ4 なぜ標準的なLPA型近似が物理的真空解を支持できないのか。その結果、固定点の物理的解釈にどのような影響を与えるのか？
• RQ5 異なるフロー方程式形式（例：[38]、[37]、[42]）は、非冗長で物理的な摂動を支持する能力において、どのように比較されるか？

主な発見

• 4次元球面上のf(R)近似は、物理的真空解（R>0におけるE_d(R)=0）を支持しない。その結果、理論空間が1点に収縮する。
• この近似におけるすべての固有演算子は、場の再定式化に対応するため冗長であり、摂動の全空間が物理的に意味を持たなくなる。
• 負の曲率値を含む定義域への拡張により、真空解が回復し、冗長性が解消される可能性がある。ただし、そのためには、全実数直線上で一意に定義された固定点f*(R)が存在する必要がある。
• 漸近的解析により、このような固定点が実数直線上に存在する場合、それは離散的であり、非冗長な固有演算子の量子化スペクトルを支持することが示された。
• [38]のフロー方程式は、4次元球面上でグローバル固定点解を許容するが、真空解の不在のため、同じ冗長性問題に見舞われる。
• [37]の高次多項式切断からの部分的固定点解ですら、定義域内に真空解を有さないため、冗長性がLPA風近似において根本的な問題であることが確認された。