[論文レビュー] Reflected Backward SDEs with General Jumps

S. Hamadene, Y. Ouknine|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動と独立なポアソン確率測度によって駆動される一般のジャンプを伴う、1本および2本のバリアをもつ反射型バックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立する。RCLL（右連続で左極限をもつ）な反射過程のジャンプに制限を設けず、予測可能または到達不能である必要がないという制限なしに、任意のジャンプを許容する。この目的を達成するために、罰則法、スネル包あえん理論、バナッハ空間における不動点議論の組み合わせが用いられる。

ABSTRACT

In the first part of this paper we give a solution for the one-dimensional reflected backward stochastic differential equation (BSDE for short) when the noise is driven by a Brownian motion and an independent Poisson point process. The reflecting process is right continuous with left limits (rcll for short) whose jumps are arbitrary. We first prove existence and uniqueness of the solution for a specific coefficient in using a method based on a combination of penalization and the Snell envelope theory. To show the result in the general framework we use a fixed point argument in an appropriate space. The second part of the paper is related to BSDEs with two reflecting barriers. Once more we prove the existence and uniqueness of the solution of the BSDE.

研究の動機と目的

• ノイズがブラウン運動と独立なポアソン確率測度によって駆動されるとき、1次元の反射型BSDEの解の存在および一意性を、RCLL（右連続で左極限をもつ）な反射過程を伴う場合に確立すること。
• Mokobodskiの仮定の下で、2つの反射バリアへの理論の拡張を行い、解の存在および一意性を証明すること。
• 反射過程のジャンプの性質に関する従来の制限（例えば、到達不能であることや予測可能であること）を撤廃し、従来の結果を一般化すること。
• 特にデフォルトが許容される市場におけるコンバーティブル・ボンドなどの金融デリバティブに適用可能なフレームワークを提供すること。ここでは、不連続なバリアが自然に現れる。
• 不連続な障害関数を伴う変分不等式の粘性解を、BSDEフレームワークを用いて開拓する道筋を提供すること。

提案手法

• 反射型BSDEの近似として、解が反射方程式の解に収束するような標準BSDEの列を構成するための罰則法を用いる。
• 与えられた過程を支配する最小のスーパーmartingaleを特徴付けるために、スネル包あえん理論を適用する。これは反射制約を扱う上で中心的な役割を果たす。
• ポアソン駆動BSDEでは比較原理が成立しないという欠如を克服するため、適切なバナッハ空間における適応過程の不動点議論を用いて、一般のリプシッツ係数に対する解の存在を証明する。
• スネル包あえんのドーブ＝マイヤー分解を、martingaleと予測可能増加過程に分解することで、反射過程の構造を分析する。
• 最適停止時刻の存在を保証するため、スネル包あえんに正則性条件を導入する。これにより、反射メカニズムの特徴づけが可能になる。
• ブラウン運動とポアソン確率測度によって生成されるフィルトレーションにおける一般のオプショナルおよび予測可能過程の理論に依拠することで、予測可能射影および双対予測可能射影の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射過程がRCLLで任意のジャンプを許容し、ノイズにブラウン運動とポアソン成分が含まれる場合、反射型BSDEの解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 ジャンプ係数を伴うBSDEでは比較原理が成立しないが、その欠如をどのように克服し、解の存在および一意性を証明できるか？
• RQ3 バリアが不連続である場合に、2重反射型BSDEの解が存在し、一意であるための条件は何か？
• RQ4 ジャンプ・ドリフトノイズの文脈において、反射過程の構造がスネル包あえんおよびドーブ＝マイヤー分解とどのように関係するか？
• RQ5 一般のジャンプを伴う反射型BSDEの理論を、不連続な障害関数を伴う変分不等式の粘性解にまで拡張できるか？

主な発見

• ノイズがブラウン運動と独立なポアソン確率測度によって駆動される場合、リプシッツ係数を伴う1本バリア反射型BSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 解は罰則スキームとスネル包あえん理論の組み合わせによって構成され、解がRCLL反射バリア以上に保たれることを保証する。
• ジャンプ変数$v$に依存する一般の係数に対しては、過程のバナッハ空間における不動点議論により、比較原理の欠如を克服し、一意な解が得られる。
• 反射過程$K$が予測可能であることが示され、そのジャンプは$\Delta_t K^d = (\eta_{t-} - R(\eta)_t)^+ \mathbf{1}_{\{R(\eta)_{t-} = \eta_{t-}\}}$を満たす。これは、スネル包あえんの挙動と直接関連している。
• スネル包あえんが正則である場合、最適停止時刻$\tau_t$が存在し、$R(\eta)_{\tau_t} = \eta_{\tau_t}$を満たす。これにより、過程がバリアに初めて到達する時点で反射が達成されることが保証される。
• 2本の反射バリアの場合、Mokobodskiの仮定の下で、解の存在および一意性が証明され、一般のジャンプダイナミクスを伴う二重反射BSDEの理論に拡張される。