[論文レビュー] Reflected Backward Stochastic Difference Equations and Optimal Stopping Problems under g-expectation

Lifen An, Samuel N. Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限状態の離散時間における反射型後向き確率差分方程式（RBSDE）の存在、一意性、比較定理を確立し、g-期待値における最適停止問題と関連付ける。RBSDEが、取引戦略の上界を含むドライバーを有する不完全市場におけるアメリカン・コンテイジェント・クレームの最小スーパー複製価格を提供することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study reflected backward stochastic difference equations (RBSDEs for short) with finitely many states in discrete time. The general existence and uniqueness result, as well as comparison theorems for the solutions, are established under mild assumptions. The connections between RBSDEs and optimal stopping problems are also given. Then we apply the obtained results to explore optimal stopping problems under $g$-expectation. Finally, we study the pricing of American contingent claims in our context.

研究の動機と目的

• 離散時間かつ有限状態空間における反射型後向き確率差分方程式（RBSDE）の厳密な理論を構築すること。
• やや弱い仮定の下で、RBSDE解の存在、一意性、比較定理を確立すること。
• RBSDEをg-期待値における最適停止問題と関連付けること。
• 不完全金融市場におけるアメリカン・コンテイジェント・クレームの価格設定にこの枠組みを適用すること。

提案手法

• 有限状態のマルコフ過程とマーチングドリフトを用いて、離散時間におけるRBSDEを定式化する。
• マーチングドリフト過程の二次変動を用いて同値関係を定義し、解の一意性を保証する。
• 反射条件を満たす増加過程を上界として表現するための離散的スコロホド補題を証明する。
• ペナルティ法を用いて、RBSDEの解の存在を確立する。
• 価値過程が停止時刻の上界における割引期待利益の上界に等しいことを示すことにより、RBSDE解と最適停止問題を関連付ける。
• アメリカン・オプションの価格設定に応用する際、スーパー複製価格を、許容可能な取引戦略の上界を含むドライバーを持つRBSDEの解としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射型後向き確率差分方程式（RBSDE）は、有限状態の離散時間において、どのような条件下で一意な解を有するか？
• RQ2 RBSDEは、g-期待値における最適停止問題の価値をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 RBSDEと不完全市場におけるアメリカン・コンテイジェント・クレームの最小スーパー複製価格の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 離散時間におけるg-期待値枠組みは、複数の事前確率に基づくマルティンゲールおよびドゥーブ＝メイヤー分解とどのように関係するか？
• RQ5 凹型／凸型ジェネレータを持つRBSDEの解は、混合最適停止・制御問題を表すことができるか？

主な発見

• ドライバー $ \bar{f}(t,y,z) = -r_t y + \sup_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $、終端条件 $ \xi_T $、下界 $ \xi_t $ を持つRBSDEの解は、アメリカン・コンテイジェント・クレームの最小スーパー複製価格に等しい。
• ドライバー $ \underline{f}(t,y,z) = -r_t y + \inf_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $ を持つRBSDEの解は、最大サブ複製価格を与える。
• 反射制約のペナルティ化により、生成子および障害物に関するやや弱い条件下でRBSDE解の存在が証明された。
• RBSDEの比較定理により、一方のドライバーが他方を支配するならば、対応する解に対しても同様の支配関係が成り立つ。
• RBSDE解は動的計画法の原理を満たす：$ Y_t = \sup_{\tau} \mathbb{E}^Q[ \sum_{t \leq s < \tau} \bar{f}(s,Y_s,Z_s) + \xi_\tau \mid \mathcal{F}_t ] $ であり、これにより最適停止問題と関連づけられる。
• 離散時間におけるg-期待値枠組みは、ドゥーブ＝メイヤー分解および任意時刻の定理を支持し、リーデルの意味で複数事前確率に基づくマルティンゲールと同値である。