[論文レビュー] Register Transducers Are Marble Transducers

Gaëtan Douéneau-Tabot, Emmanuel Filiot+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、レジスタのコピーを許容するストリーミング文字列トランスダーサー（SST）であるコピー可能なSSTが、入力にマーカー（「マーブル」）を配置し、スタック方式の規律に従って管理できるように拡張された双方向トランスダーサーと同等であることを確立している。主な貢献は、使用するマーブルの数と出力サイズの多項式的増加率との間のきわめて明確な対応関係を示したことである。具体的には、k個のマーブルを使用するトランスダーサーは、出力サイズがO(n^{k+1})である関数を正確に表現でき、このクラスへの属性は出力成長の構文的解析によって決定可能であることを示している。

ABSTRACT

Deterministic two-way transducers define the class of regular functions from words to words. Alur and Cerný introduced an equivalent model of transducers with registers called copyless streaming string transducers. In this paper, we drop the "copyless" restriction on these machines and show that they are equivalent to two-way transducers enhanced with the ability to drop marks, named "marbles", on the input. We relate the maximal number of marbles used with the amount of register copies performed by the streaming string transducer. Finally, we show that the class membership problems associated with these models are decidable. Our results can be interpreted in terms of program optimization for simple recursive and iterative programs.

研究の動機と目的

• コピーなしSSTと双方向トランスダーサーの既知の同値性を、より表現力の高いコピー可能なSSTのケースに拡張すること。
• レジスタを用いず、入力にマーカー（「マーブル」）を配置することでレジスタのコピーを模倣する新しいトランスダーサーのモデル—マーブルトランスダーサーを導入し、形式的に定式化すること。
• 使用するマーブルの数を用いてコピー可能なSSTの表現力を特徴づけ、構文的制約と意味的出力成長を結びつけること。
• k個のマーブルを使用するトランスダーサーに対する属性問題が決定可能であることを示し、出力サイズを十分かつ必要十分な基準として用いること。

提案手法

• マーブルトランスダーサーを、入力にマーブルを配置できる双方向トランスダーサーとして定義し、新しいマーブルは常に既存のものより左にのみ配置され、スタックに類似した規律を強制する。
• コピー可能なSSTとマーブルトランスダーサーの表現力が同等であることを証明し、マーブルの数がレジスタのコピーの深さに対応することを示す。
• マーブルトランスダーサーの制限版として、最大k個のマーブルを使用するk個のマーブルトランスダーサーを定義し、O(n^{k+1})時間で実行され、出力サイズがO(n^{k+1})であることを示す。
• k個のマーブルトランスダーサーとk段階のSST（レジスタのコピーがk段階の階層に制限されたもの）が同等であることを確立する。
• SSTにおける置換の記号的表現を、スケルトン（skes）、開始位置（begs）、続く位置（fols）の3つの関数を用いて定義し、コピーなしの仮想的合成を可能にする。
• SSTの実行をシミュレートする有限状態機械Sを実装し、生存する決定的ブランチを追跡し、死んだ部分木を破棄し、レジスタに類似した状態のコピーなし更新により置換を合成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コピー可能なSSTの表現力を、レジスタを用いないモデルで捉えることは可能か？
• RQ2 マーブルトランスダーサーで使用するマーブルの数と出力サイズの多項式的増加率との間に正確な対応関係があるか？
• RQ3 k個のマーブルトランスダーサーに対する属性問題は決定可能か？ また、これは出力サイズの構文的解析に還元可能か？
• RQ4 k段階のSSTにおけるレジスタのコピーの階層的制限は、k個のマーブルトランスダーサーのスタックに類似した挙動とどのように関係するか？
• RQ5 この関数クラスにおいて、指数時間のアルゴリズムを多項式時間の同等物に最適化することが、実際に決定可能か？

主な発見

• コピー可能なSSTは、入力にマーブルを配置・管理できるように拡張された双方向トランスダーサーと表現力において同等である。
• マーブルトランスダーサーで使用するマーブルの数は、出力サイズの多項式的増加の程度に正確に対応する：k個のマーブルを使用するトランスダーサーは、出力サイズがO(n^{k+1})である。
• k個のマーブルトランスダーサーに対する属性問題は決定可能であり、関数がk個のマーブルトランスダーサーで計算可能であるための必要十分条件は、その出力サイズがO(n^{k+1})であることである。
• k個のマーブルトランスダーサーは、レジスタのコピーがk段階の階層に制限されたk段階のSSTと同等であり、既知の双方向トランスダーサーとコピーなしSSTの同値性を一般化する。
• SSTのシミュレーションに記号的置換合成（skes, begs, folsを用いて）を用いる有限状態機械Sの実装により、コピーなしの仮想的合成が可能となり、正しさが保たれ、効率的な解析が可能になる。
• このモデルは、再帰的および反復的プログラムの最適化の理論的基盤を提供し、可能な場合には指数時間のアルゴリズムを多項式時間のものに変換できる。最適化問題の決定可能性が保証される。