[論文レビュー] Regular black holes in three dimensions and the zero point length

Kimet Jusufi|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子重力効果を記述するゼロ点長さ $ l_0 $ を含む正則化手続き $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $ を用いて、3次元の反ド・ジッター（AdS）空間内に正則で特異性のないブラックホール解を提案する。この手法により、重力的および電磁的ポテンシャルが修正され、原点における有限なエネルギー密度、漸近的にAdS的な幾何構造、および特定の条件下で平坦なデ de Sitter コアが得られる。この解は $ l_0 \to 0 $ の極限で電荷を帯びたBTZブラックホールに還元され、次元拡張とニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを用いて回転する解へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper, by means of regularisation procedure via $r o \sqrt{r^2+l_0^2}$ (where $l_0$ can play the role of zero point length), we first modify the gravitational and electromagnetic potentials in two dimensions and then we solve the Einstein field equations to end up with an exact and regular black hole solution in three dimensions with a negative cosmological constant. We show that, the black hole solution is asymptotically AdS, non-singular at the origin and, under specific conditions, it has a flat de Sitter core at the origin. As a special case, we obtain the charged Banados-Teitelboim-Zanelli (BTZ) solution. Finally, using a dimensional continuation and the NJ algorithm, we end up with a legitimate rotating black hole solution in three dimensions.

研究の動機と目的

• 量子重力効果を正則化手続きを用いて組み込むことで、3次元時空における特異性のないブラックホール解を構築すること。
• ゼロ点長さ $ l_0 $ を用いて物質分布をぼかし、原点におけるエネルギー密度の有限性を保証すること。
• 電荷を有する3次元AdS空間内での正確で正則なブラックホール解を導出すること。古典的極限でBTZ解に還元されることを確認すること。
• 次元拡張とニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを用いて、静的な解を回転するブラックホール解に拡張すること。

提案手法

• 2次元重力ポテンシャル $ \Phi \sim M\ln r $ に正則化 $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $ を適用し、$ \Phi = kM\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}) $ を得る。
• 2次元のポisson方程式 $ \nabla^2 \Phi = 2\pi \rho $ を解き、有限で正則なエネルギー密度 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $ を導出する。
• 電磁ポテンシャルを $ A_\mu = (-Q\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}), 0, 0) $ と修正し、正則な電磁エネルギー運動量テンソルが得られることを示す。
• 宇宙定数 $ \Lambda = 1/l^2 $ を持つアインシュタイン＝マクスウェル方程式を、正則化されたエネルギー運動量テンソルを用いて解き、計量関数 $ f(r) $ を導出する。
• 3次元解を4次元の静的かつ球対称時空の $ \theta = \pi/2 $ 切断として埋め込むことにより、次元拡張を用いる。
• 複素座標変換を用いたニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを適用し、3次元における回転ブラックホール解を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子補正付きの正則化手続きを用いて、3次元AdS空間内に特異性のないブラックホール解を構築することは可能か？
• RQ2 ゼロ点長さ $ l_0 $ の導入により、原点におけるエネルギー密度が有限になり、平坦なデ de Sitter コアが得られるか？
• RQ3 正則化された解は、古典的極限 $ l_0 \to 0 $ において、標準的な電荷を帯びたBTZブラックホールに還元されるか？
• RQ4 ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを用いて、高次元幾何から3次元の回転ブラックホール解を導出できるか？

主な発見

• エネルギー密度 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $ は原点で有限かつ正則であり、$ l_0 \to 0 $ のとき消えるため、量子重力効果による物質のぼかしを示している。
• 質量関数 $ m(r) = \frac{kM r^2}{r^2 + l_0^2} $ は $ r = 0 $ で消え、$ r \to \infty $ で $ M $ に漸近するため、正しい古典的極限が保証される。
• ブラックホール解は $ f(r) \to \frac{r^2}{l^2} $ と漸近的にAdS的になるが、特定のパrameter条件下では $ r \to 0 $ で平坦なデ de Sitter コアを示す。
• 解は $ l_0 \to 0 $ の極限で電荷を帯びたBTZブラックホールに還元され、既知の結果と整合することが確認される。
• 次元拡張とニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを用いて、3次元における回転ブラックホール解が導出され、計量はボイヤー＝リンデシュトラス型座標で表される。
• 回転解は $ ds^2 = -f(r) d\tilde{t}^2 - 2a d\tilde{t} d\phi + r^2 d\phi^2 + \frac{r^2}{\Delta} dr^2 $ と表され、ここで $ \Delta = r^2 f(r) + a^2 $ であり、$ f(r) $ には $ l_0 $ を通じた量子補正が含まれる。