[論文レビュー] Regular conditional distributions of max infinitely divisible processes

Clément Dombry, Frédéric Éyi-Minko|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定の位置における観測値を条件とする、最大無限可分（max-i.D.）過程の明示的な正則条件付き分布の表現を提供する。ポイント過程表現を活用し、極値的および準極値的関数の概念を導入するとともに、到達シナリオを定義することで、観測データと整合するすべての可能なシナリオにわたる混合表現を導出し、max線形場に関する先行研究を一般化し、極値理論における新たな予測ツールを可能にする。

ABSTRACT

This paper is devoted to the prediction problem in extreme value theory. Our main result is an explicit expression of the regular conditional distribution of a max-stable (or max-infinitely divisible) process $\{η(t)\}_{t\in T}$ given observations $\{η(t_i)=y_i,\ 1\leq i\leq k\}$. Our starting point is the point process representation of max-infinitely divisible processes by Giné, Hahn and Vatan (1990). We carefully analyze the structure of the underlying point process, introduce the notions of extremal function, sub-extremal function and hitting scenario associated to the constraints and derive the associated distributions. This allows us to explicit the conditional distribution as a mixture over all hitting scenarios compatible with the conditioning constraints. This formula extends a recent related result by Wang and Stoev (2011) dealing with the case of spectrally discrete max-stable random fields. We believe this work offers new tools and perspective for prediction in extreme value theory together with numerous potential applications.

研究の動機と目的

• 観測された極値を用いたmax無限可分過程の予測のための一般枠組みを構築すること。
• WangとStoev（2011）のmax線形場に関する結果を、標本連続なmax-i.D.過程の広いクラスへと拡張すること。
• 到達シナリオの概念を形式化し、それが過程の分布の条件付き化における役割を明確にすること。
• ポイント過程およびポアソン確率測度論を用いて、条件付き分布の存在性と正則性を確立すること。
• 空間的および多変量極値解析における予測のための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 連続関数の空間上でのポアソン確率測度 Φ を用いた、max-i.D.過程のポイント過程表現を利用する。
• 観測位置で最大値を達成する関数を極値的関数と定義し、最大値を達成しない関数を準極値的関数と定義する。
• 到達シナリオを、条件付けられる位置における観測値に寄与する極値的関数のインデックス集合として定義する。
• 観測データと整合するすべての許容可能な到達シナリオにわたる混合表現として、正則条件付き分布を導出する。
• 条件付き確率核の正則性と可測選択技術を用いて、条件付き分布の存在性と可測性を保証する。
• ポイント過程理論の結果、特に原子の可測な列挙およびポアソン測度の性質を応用し、理論的基盤を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の位置における観測値が与えられたとき、max-i.D.過程の条件付き分布をどのように明示的に特徴づけられるか？
• RQ2 到達シナリオは、条件付き分布の構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 max-i.D.過程のポイント過程表現は、正則条件付き分布の導出をどのように支援するか？
• RQ4 max線形場のための枠組みを、max-i.D.過程の全クラスへと一般化できるか？
• RQ5 この文脈において、条件付き測度の正則版の存在に必要な十分条件は何か？

主な発見

• 有限個の位置における観測値が与えられたとき、max-i.D.過程の正則条件付き分布は、観測データと整合するすべての許容可能な到達シナリオにわたる混合表現として表現される。
• 観測値 f(s) ∈ [0,∞)^l ∆{0} を条件とする条件付き測度 μ(df) の正則版の存在は、アニュラス上での可測な分解と正規化を用いて厳密に確立された。
• 本稿は、WangとStoev（2011）のmax線形場に関する結果を、標本連続なmax-i.D.過程の全クラスへと拡張することで一般化している。
• 原子の可測選択および可測核の構成により、条件付き分布枠組みの理論的妥当性が保証された。
• 本フレームワークは、空間的および多変量極値の文脈において、極値理論における新たな一般化された予測ツールを提供する。
• 極値的および準極値的関数の使用により、観測された最大値への関数的寄与に基づいた、条件付き分布の構造的分解が可能となった。