[논문 리뷰] Regular integers modulo n

László Tóth|ArXiv.org|2007. 10. 10.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수 $n$ 모듈로의 정규 정수를 연구한다. 정규 정수는 $a^2x \equiv a \pmod{n}$ 를 만족하는 $x$ 가 존재하는 정수 $a$ 로 정의된다. 이 논문은 이러한 정수의 수를 $\varrho(n)$ 라고 할 때, $\varrho(n)$ 이 곱셈적임을 증명하고, $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ 라는 표현을 유도한다. 여기서 $\phi$ 는 오일러 파이 함수이다. 주요 기여는 평균 순서 $\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$ 를 유도한 것으로, 여기서 $A \approx 0.8815$ 이다. 또한 $\varrho(n)/\phi(n)$, $\phi(n)/\varrho(n)$, $1/\varrho(n)$ 의 극값 순서를 분석하여 $\liminf_{n \to \infty} \varrho(n) \log \log n / n = e^{-\gamma}$ 와 $\limsup_{n \to \infty} \varrho(n)/( \phi(n) \log \log n) = e^\gamma$ 를 보였다. 이러한 결과들은 초등 및 해석적 수론 기법을 사용하여 도출되었다.

ABSTRACT

Let $n=p_1^{ν_1}... p_r^{ν_r} >1$ be an integer. An integer $a$ is called regular (mod $n$) if there is an integer $x$ such that $a^2x\equiv a$ (mod $n$). Let $\varrho(n)$ denote the number of regular integers $a$ (mod $n$) such that $1\le a\le n$. Here $\varrho(n)=(ϕ(p_1^{ν_1})+1)... (ϕ(p_r^{ν_r})+1)$, where $ϕ(n)$ is the Euler function. In this paper we first summarize some basic properties of regular integers (mod $n$). Then in order to compare the rates of growth of the functions $\varrho(n)$ and $ϕ(n)$ we investigate the average orders and the extremal orders of the functions $\varrho(n)/ϕ(n)$, $ϕ(n)/\varrho(n)$ and $1/\varrho(n)$.

연구 동기 및 목표

• 정수 $n$ 모듈로의 정규 정수를 초등적이고 링 이론적 성질을 이용해 특성화하기.
• 함수 $\varrho(n)$, $\phi(n)$ 및 그 비율인 $\varrho(n)/\phi(n)$, $\phi(n)/\varrho(n)$, $1/\varrho(n)$ 의 성장률 분석하기.
• 함수 $\varrho(n)$ 의 평균 순서를 규명하고, 그 합계 함수의 오차 항을 개선하기.
• 함수 $\varrho(n)/\phi(n)$ 와 $1/\varrho(n)$ 의 극값 순서를 확립하고, $e^{\gamma}$ 와 $A \approx 0.8815$ 과 같은 고전적 상수와 연결하기.

제안 방법

• 정수 $n$ 모듈로의 정규 정수를 특성화하는 여섯 가지 표현 간의 동치성을 증명하며, 이는 $a^2x \equiv a \pmod{n}$, $\gcd(a,n) \mid\mid n$, $a^{\phi(n)+1} \equiv a \pmod{n}$ 등을 포함한다.
• 함수 $\varrho(n)$ 의 곱셈적 성질을 이용하여, $d \mid\mid n$ 이 단위자기약수를 뜻함을 고려해 $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ 로 표현한다.
• 기존의 $\phi(n)/n$ 과 $1/\phi(n)$ 과 관련된 점근적 결과를 적용하며, 특히 왈리스의 추정치인 $\sum_{n \leq x} \frac{\phi(n)}{n} = \frac{6}{\pi^2}x + O((\log x)^{2/3}(\log \log x)^{4/3})$ 를 사용한다.
• 디리클레 컨볼루션과 곱셈적 산술 함수를 이용해 $1/\varrho(n)$ 을 단위자기약수에 대한 합으로 분해함으로써, 기존의 오일러 프로덕트 추정치를 적용할 수 있도록 한다.
• 곱셈적 함수 이론과 오일러 프로덕트의 수렴성을 이용해, $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 의 점근 전개에서 나타나는 상수 $D = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} \prod_p \left(1 - \frac{p(p-1)}{p^2 - p + 1} \sum_{\nu=1}^\infty \frac{1}{p^\nu (p^\nu - p^{\nu-1} + 1)} \right)$ 를 도출한다.
• 논문 [11] 에서 제시한 곱셈적 함수의 극값 순서 결과를 활용하여, $\varrho(n)/\phi(n)$ 와 $\varrho(n)/n$ 의 상한 및 하한 극한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $\varrho(n)$, 즉 $n$ 모듈로의 정규 정수의 수의 평균 순서는 무엇인가?
• RQ2 함수 $\varrho(n)/\phi(n)$, $\phi(n)/\varrho(n)$, $1/\varrho(n)$ 의 극값 순서는 무엇인가?
• RQ3 $\varrho(n)$ 과 $\phi(n)$ 의 성장률은 어떻게 비교되는가? 특히 상한 및 하한 극한의 관점에서 어떻게 되는가?
• RQ4 $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 의 정확한 점근 전개는 무엇이며, 그 주요 항을 결정짓는 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $\varrho(n)$ 의 평균 순서는 $\sum_{n \leq x} \varrho(n) = \frac{1}{2} A x^2 + O(x \log x)$ 를 만족하며, 여기서 $A \approx 0.8815$ 는 이차 형수의 클래스 수 상수이다.
• 함수 $\varrho(n)$ 은 곱셈적이며, $\varrho(n) = \sum_{d \mid\mid n} \phi(d)$ 를 만족한다. 특히 $\varrho(p^\nu) = \phi(p^\nu) + 1 = p^\nu - p^{\nu-1} + 1$ 이다.
• 함수 $\varrho(n)$ 의 최소 순서는 $\liminf_{n \to \infty} \frac{\varrho(n) \log \log n}{n} = e^{-\gamma}$ 를 만족하며, 이는 $\phi(n)$ 의 최소 순서와 일치한다.
• 함수 $\varrho(n)/\phi(n)$ 의 최대 순서는 $\limsup_{n \to \infty} \frac{\varrho(n)}{\phi(n) \log \log n} = e^{\gamma}$ 를 만족하며, 이는 어떤 $n$ 에 대해 $\varrho(n)$ 이 $\phi(n)$ 보다 크게 될 수 있음을 시사한다.
• $\sum_{n \leq x} \frac{1}{\varrho(n)}$ 는 점근 전개 $D \log x + E + O\left(\frac{\log^9 x}{x}\right)$ 를 가지며, 여기서 $D$ 는 $\zeta$-함수와 국소 인자들을 포함한 수렴하는 오일러 프로덕트이다.
• 함수 $\varrho(n)$ 의 평균 순서에서 오차 항이 $O(x \log x)$ 로 개선되었으며, 이는 이전의 $O(x \log^3 x)$ 와 $O(x \log^2 x)$ 의 추정치를 향상시킨 것이다.