[論文レビュー] Regular Operators on Hilbert C^*-modules

Arupkumar Pal|ArXiv.org|Jun 25, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、正則作用素の範囲密度条件を緩和した、ヒルベルト C*-加群上の半正則作用素—閉作用素かつ定義内が稠密で、かつ随伴作用素の定義内も稠密である作用素—をより広いクラスとして導入する。アーベリアン C*-代数およびコンパクト作用素の部分代数において、すべての閉半正則作用素は自動的に正則であることが示される。主な貢献は、liminal C*-代数上の半正則作用素がユニタリ同値および乗法的代数内のノルム連続な作用素族を介して正則作用素に拡張可能であるための基準の確立である。

ABSTRACT

A regular operator T on a Hilbert C^*-module is defined just like a closed operator on a Hilbert space, with the extra condition that the range of (I+T^*T) is dense. Semiregular operators are a slightly larger class of operators that may not have this property. It is shown that, like in the case of regular operators, one can, without any loss in generality, restrict oneself to semiregular operators on C^*-algebras. We then prove that for abelian C^*-algebras as well as for subalgebras of the algebra of compact operators, any closed semiregular operator is automatically regular. We also determine how a regular operator and its extensions (and restrictions) are related. Finally, using these results, we give a criterion for a semiregular operator on a liminal C^*-algebra to have a regular extension.

研究の動機と目的

• ヒルベルト C*-加群上の非有界作用素のより広いクラス—半正則作用素—を研究すること。正則作用素の定義における範囲の稠密性条件を緩和する。
• アーベリアン C*-代数およびコンパクト作用素の部分代数において、C*-代数上の閉半正則作用素が自動的に正則である条件を特定すること。
• liminal C*-代数上の半正則作用素が正則拡張をもつための十分条件を提供すること。
• 既存の文献における結果を一般化し、正則性がスペクトルに関する条件とユニタリ同値性の確認に帰着できることを示すこと。

提案手法

• 正則作用素の範囲稠密性条件を除き、閉作用素かつ定義内が稠密で、かつ随伴作用素の定義内も稠密である作用素として半正則作用素を定義する。
• C*-代数 $A$ のスペクトル $\hat{A}$ を用いて、表現 $\pi: A \to B(H_\pi)$ を介して作用素を解析し、問題をヒルベルト空間上の作用素の研究に還元する。
• Stone-Weierstrass型定理（定理 1.1）を適用し、表現による像を通じて $A$ のイデアルの稠密性を確立する。
• 各 $\pi(A)$ 上で $T_\pi = U_\pi t U_\pi^*$ と定義することで、半正則作用素 $S$ の正則拡張 $\widetilde{T}$ を構成する。ここで $t$ は $\pi_0(A)$ 上の正則作用素である。
• 強連続性を持つ $\{U_\pi\}$ を用いて、乗法的代数 $M(A)$ 内の要素 $z$ が存在し、$\pi(z) = U_\pi w U_\pi^*$ となるように保証する。ここで $w$ は $t$ の $z$-変換である。
• 正則性の確認のため、$\widetilde{T}$ の $z$-変換がノルム連続であり、かつ $S \subseteq \widetilde{T}$ であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト C*-加群上の閉半正則作用素が、どのような条件下で自動的に正則となるか。
• RQ2 liminal C*-代数上の半正則作用素は、正則作用素に拡張可能か。その場合、どのような条件下で可能か。
• RQ3 特定の C*-代数において、正則作用素の定義における範囲稠密性条件をより取り扱いやすい条件に置き換えられるか。
• RQ4 ユニタリ族 $\{U_\pi\}$ は、半正則作用素の正則拡張を構成する際に果たす役割は何か。
• RQ5 C*-代数上の半正則作用素の $z$-変換が、乗法的代数に持ち上がるのはいつか。

主な発見

• アーベリアン C*-代数では、すべての閉半正則作用素は自動的に正則である。これは、$I + T^*T$ の範囲条件が他の公理から従うためである。
• コンパクト作用素の部分代数では、閉半正則作用素も自動的に正則である。これは、理想構造が豊富な非単位的 C*-代数へ結果を拡張する。
• liminal C*-代数 $A$ 上の半正則作用素 $S$ が正則拡張をもつための十分条件は、$\pi_0(A)$ 上の正則作用素 $t$ と、連続性およびユニタリ同値性条件を満たすユニタリ族 $\{U_\pi\}$ の存在である。
• 正則拡張 $\widetilde{T}$ の構成は、$\pi(z) = U_\pi w U_\pi^*$ を満たす乗法的要素 $z \in M(A)$ の存在に依存する。ここで $w$ は $t$ の $z$-変換である。この条件により、スペクトルの持ち上げを通じて正則性が保証される。
• この結果は、$E = C[0,1] \otimes L^2(0,1)$ などの具体例に適用可能であり、ねじれ境界条件をもつ微分作用素がユニタリ共役により正則であることが示される。
• 本稿は、強連続なユニタリ族とノルム連続な作用素値関数を用いた、ヒルベルト C*-加群上の正則作用素の構成の一般枠組みを提供する。