[论文解读] Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads

Michael Batanin, Joachim Kock+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文建立了正则图案（Getzler）、取代子（Day 和 Street）、费曼范畴（Kaufmann 和 Ward）与彩色操作子之间的2-范畴双等价关系，表明其代数范畴是等价的。通过运用 Power 的一致性定理与 Guitart 精确性，本文将 Getzler 与 Kaufmann–Ward 的继承公理由自由对称单峰范畴2-单峰的兼容性条件统一起来。

ABSTRACT

We show that the regular patterns of Getzler (2009) form a 2-category biequivalent to the 2-category of substitudes of Day and Street (2003), and that the Feynman categories of Kaufmann and Ward (2013) form a 2-category biequivalent to the 2-category of coloured operads (with invertible 2-cells). These biequivalences induce equivalences between the corresponding categories of algebras. There are three main ingredients in establishing these biequivalences. The first is a strictification theorem (exploiting Power's General Coherence Result) which allows to reduce to the case where the structure maps are identity-on-objects functors and strict monoidal. Second, we subsume the Getzler and Kaufmann--Ward hereditary axioms into the notion of Guitart exactness, a general condition ensuring compatibility between certain left Kan extensions and a given monad, in this case the free-symmetric-monoidal-category monad. Finally we set up a biadjunction between substitudes and what we call pinned symmetric monoidal categories, from which the results follow as a consequence of the fact that the hereditary map is precisely the counit of this biadjunction.

研究动机与目标

• 建立正则图案的2-范畴与取代子的2-范畴之间的双等价关系，表明其代数范畴是等价的。
• 证明费曼范畴的2-范畴与具有可逆2-胞状的彩色操作子的2-范畴之间存在双等价关系。
• 在自由对称单峰范畴2-单峰的 Guitart 精确性的一般概念下，统一 Getzler 与 Kaufmann–Ward 的继承公理。
• 证明操作子中可逆一元运算的范畴与费曼范畴中的颜色范畴之间存在对应关系，揭示更深层次的结构等价性。
• 利用2-单峰理论与 Power 的一致性结果，为操作子理论中 Kan 扩张构造提供范畴论框架。

提出的方法

• 将 Power 的一般一致性结果应用于严格化对称单峰函子，将其简化为对象上为恒等的函子与严格单峰结构。
• 在 Cat 上使用 Gabriel 因子分解系统，将函子分解为对象上为双射与全忠实的部分，通过 enriched 拉回实现严格化。
• 引入 Guitart 精确性这一2-范畴条件，以确保左 Kan 扩张与自由对称单峰范畴2-单峰之间的兼容性。
• 在取代子与带标记的对称单峰范畴之间构造一个双伴随，其中余单位编码了继承条件。
• 利用该双伴随的余单位在 Getzler 与 Kaufmann–Ward 框架中精确对应于继承映射的事实。
• 验证严格化与精确性条件可确保沿对称单峰函子的左 Kan 扩张保持所需的操作子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2-范畴层面上，正则图案（Getzler）与取代子（Day 和 Street）之间有何关系？
• RQ2 费曼范畴（Kaufmann 和 Ward）与彩色操作子之间存在何种范畴关系？
• RQ3 Getzler 的正则图案与 Kaufmann–Ward 的费曼范畴中的继承公理能否在单一抽象条件下统一？
• RQ4 沿对称单峰函子的左 Kan 扩张在多大程度上保持操作子结构？何种条件可确保这一点？
• RQ5 操作子中可逆一元运算的范畴与费曼范畴中的颜色范畴之间有何关系？

主要发现

• 正则图案的2-范畴与取代子的2-范畴之间存在双等价关系，其对应的代数范畴是等价的。
• 费曼范畴的2-范畴与具有可逆2-胞状的彩色操作子的2-范畴之间存在双等价关系，确立了结构等价性。
• Getzler 与 Kaufmann–Ward 框架中的继承公理均为自由对称单峰范畴2-单峰下的 Guitart 精确性实例。
• 彩色操作子中可逆一元运算的范畴与关联费曼范畴中的颜色范畴完全对应，揭示了隐藏的对称性。
• 通过 Power 定理实现的严格化结果可将所有对称单峰函子替换为对象上为恒等的函子，从而简化了 Kan 扩张的分析。
• 取代子与带标记对称单峰范畴之间的双伴随诱导出双等价关系，且余单位在两种情形中均编码了继承条件。