[論文レビュー] Regularity for minimizers of non-autonomous non-quadratic functionals in the case 1 < p < 2: an a priori estimate

Andrea Gentile|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非自立的で非二次的であり、成長が下記の通りの非二次的関数の局所的最小化子の2階微分の事前推定を、1 < p < 2 の下で確立する。この関数は、被積分関数の勾配依存性が L^q(Ω) に弱微分を持つと仮定する（q ≥ 2n/p）。主な結果は、差分商法の新規な応用と、臨界可 summability を扱うための二重反復技法を用いて、||Du||_L^p と ||g||_L^q で表される L^p 範囲での D²u の L^p 範囲を達成することである。

ABSTRACT

We prove an a priori estimate for the second derivatives of local minimizers of integral functionals of calculus of variation with convex integrand with respect to the gradient variable, assuming that the function that measures the oscillation of the integrand with respect to the x variable belongs to a suitable Sobolev space. The novelty here is that we deal with integrands satisfying subquadratic growth conditions with respect to gradient variable.

研究の動機と目的

• 非自立的で非二次的関数の局所的最小化子の2階微分に対する事前推定を、1 < p < 2 で非二次的成長を満たす場合に確立すること。
• 被積分関数 f(x, ξ) が ξ に関して非二次的成長を示し、x に関してSobolev型の正則性を持つ勾配依存性を満たす場合に、正則性理論を拡張すること。
• 特に p < 2 の場合に、非二次的成長とSobolev係数の下で、ベクトル値最小化子に対する高階微分可能性の結果が不足している問題を解決すること。
• Dξf(x, ξ) が x に関して弱微分可能（L^q に属する）であるという仮定が、最小化子 u の2階積分可能性を示すこと

提案手法

• 差分商法を用いて、補助関数 Vp(Du) の勾配の L^2 範囲を介して D²u の L^p 範囲を推定すること。
• Sobolev関数のHajlasz点毎の特徴づけを応用し、関数 g ∈ L^q_loc(Ω) を用いて Dξf の x に関する振動を制御すること。
• 臨界可 summability を扱うために、特に非二次的ケース（p < 2）で標準的推定が失敗する場合に備えて、二重反復技法を用いること。
• g, Du, および τhDu を含む項をバランスさせるために、適切に選ばれた指数を用いた Hölder の不等式とYoungの不等式を用いること。
• 反復補題（補題2.3）を採用し、|τhDu|/|h| の局所的 L^p 範囲を ||D²u||_L^p のグローバル推定に高める。
• Sobolev埋め込み定理を活用し、q ≥ 2n/p のとき |Du| の L^{pq/(q-2)} 範囲を制御することで、臨界項の収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自立的で非二次的関数の局所的最小化子の2階微分に対する事前推定は、1 < p < 2 で勾配に関して非二次的成長を示す場合に確立可能か？
• RQ2 Dξf(x, ξ) が x に関して弱微分可能（L^q に属する）であるという仮定は、p < 2 の場合に D²u の高階積分可能性を示すか？
• RQ3 差分商法は、非二次的ケース（p < 2）で生じる臨界可 summability の課題に対応して改造可能か？
• RQ4 Dξf の x に関する振動を測る係数関数 g の最適な積分可能性条件は何か？ これにより D²u ∈ L^p が保証されるか？
• RQ5 p < 2 と q ≥ 2n/p の間の相互作用が、事前推定の構造にどのように影響するか？

主な発見

• ||D²u||_L^p(B_r) に対する事前推定が確立され、||Du||_L^p(B_R) + ||g||_L^q(B_R) の定数倍で抑えられる。ここで q ≥ 2n/p である。
• 推定式 (1.6) は、BR ⋐ Ω を満たす任意の 0 < r < R に対して成り立ち、定数 C は α, β, p, n のみに依存する。
• 臨界可 summability を制御するための新規な二重反復技法に依存しており、これは非二次的領域（p < 2）において不可欠である。
• ∫ |τhDu|^p / |h|^p dx の項は、Hölder の不等式とYoungの不等式の組み合わせにより制御され、特に g と Du を含む臨界項はSobolev埋め込みにより推定される。
• 条件 q ≥ 2n/p により、|Du| の L^{pq/(q-2)} 範囲が有限であることが保証され、Sobolev埋め込みを用いて推定を閉じることが可能になる。
• 本結果により、従来の文献で未解決であった非二次的成長（1 < p < 2）とSobolev係数の下での正則性理論が拡張され、研究分野における重要な空白が埋められた。