[論文レビュー] Regularity for Orlicz phase problems

Sumiya Baasandorj, Sun‐Sig Byun|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非自己同型で非一様的強凸性を示す関数の、Orlicz型非標準的成長をもつ汎関数の最小化子に対する最適な正則性条件を確立する。著者らは、スケーリング不変な調和近似法を新規に導入し、係数関数の連続性および成長構造に関する鋭い条件の下で勾配の Hölder 連続性を証明する。この結果は、最適な可積分性および正則性の閾値を伴い、多相型および二相型設定へと拡張される。

ABSTRACT

We provide comprehensive regularity results and optimal conditions for a general class of functionals involving Orlicz multi-phase of the type \begin{align} \label{abst:1} v\mapsto \int_Ω F(x,v,Dv)\,dx, \end{align} exhibiting non-standard growth conditions and non-uniformly elliptic properties. The model functional under consideration is given by the Orlicz multi-phase integral \begin{align} \label{abst:2} v\mapsto \int_Ω f(x,v)\left[ G(|Dv|) + \sum\limits_{k=1}^{N}a_k(x)H_{k}(|Dv|) ight]\,dx,\quad N\geqslant 1, \end{align} where $G,H_{k}$ are $N$-functions and $ 0\leqslant a_{k}(\cdot)\in L^{\infty}(Ω) $ with $0 < ν\leqslant f(\cdot) \leqslant L$. Its ellipticity ratio varies according to the geometry of the level sets $\{a_{k}(x)=0\}$ of the modulating coefficient functions $a_{k}(\cdot)$ for every $k\in \{1,\ldots,N\}$. We give a unified treatment to show various regularity results for such multi-phase problems with the coefficient functions $\{a_{k}(\cdot)\}_{k=1}^{N}$ not necessarily Hölder continuous even for a lower level of the regularity. Moreover, assuming that minima of the functional above belong to better spaces such as $C^{0,γ}(Ω)$ or $L^κ(Ω)$ for some $γ\in (0,1)$ and $κ\in (1,\infty]$, we address optimal conditions on nonlinearity for each variant under which we build comprehensive regularity results. On the other hand, since there is a lack of homogeneity properties in the nonlinearity, we consider an appropriate scaling with keeping the structures of the problems under which we apply Harmonic type approximation in the setting varying on the a priori assumption on minima. We believe that the methods and proofs developed in this paper are suitable to build regularity theorems for a larger class of non-autonomous functionals.

研究の動機と目的

• 一般の Orlicz 多相型汎関数の最小化子について、包括的な正則性結果を確立すること。
• 勾配の Hölder 連続性を保証する係数関数および非線形性の鋭い条件を同定すること、特に係数関数が Hölder 連続でない場合でも成立すること。
• 既存の (p,q)-二相型、境界付近二相型、多相型問題の正則性理論を統一的かつ拡張的に、同一の枠組みで扱うこと。
• 非標準的成長を有する最小化問題において、Lavrentiev 現象が発生せず、最小化のギャップが存在しないことを保証すること。
• 汎関数の構造的仮定が最適である場合に、高階可積分性およびハルナック型不等式を証明すること。

提案手法

• 関数 $ F(x, z) = G(|z|) + \sum_{k=1}^N a_k(x) H_k(|z|) $ を持つ形の、$ G, H_k $ が N-関数であり、$ a_k \in L^\infty(\Omega) $ であるような Orlicz 多相型汎関数 $ \int_\Omega F(x, \upsilon, D\upsilon) \,dx $ のための統一的枠組みを導入すること。
• 最小化子の正則性に関する事前仮定の下で、汎関数の構造的特徴を保つスケーリング手順を適用し、調和近似の適用を可能にする。
• Musielak-Orlicz-Sobolev 空間の文脈において、調和型近似を用いて最小化子と定係数問題の解とを比較すること。
• 非一様成長に適した、Sobolev-Poincar\'e 型および Caccioppoli 型不等式を確立し、定数が係数関数の連続性モジュラスに依存することを示すこと。
• 振動の減衰とスケーリングされたエネルギー推定に基づく精密な反復法を用いて、勾配の Hölder 連続性を導出すること。
• 係数関数の連続性モジュラス $ \omega_a, \omega_b $ に対して最適な仮定の下で、高階可積分性およびハルナック不等式を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小化子の勾配が Hölder 連続であるための、係数関数 $ a_k(\cdot) $ および N-関数 $ G, H_k $ に対する最適な条件は何か？
• RQ2 係数関数が Hölder 連続でない場合を含め、非自己同型で非一様的強凸性を有する関数の正則性理論を、非標準的成長に対してどのように拡張できるか？
• RQ3 このような Orlicz 多相型問題において、Lavrentiev 現象が発生しない条件は何か？
• RQ4 最適な構造的仮定の下で、最小化子に対して高階可積分性およびハルナック型不等式を確立できるか？
• RQ5 多相型問題において、勾配の正則性を保証するための成長比 $ q/p $ や $ s/p $ の鋭い閾値は何か？

主な発見

• 本稿では、勾配の Hölder 連続性のための鋭い条件を確立した。すなわち、$ a(\cdot) \in C^{\omega_a}(\Omega) $ かつ $ \omega_a $ が 0 で消失する凹関数であり、$ \limsup_{t \to 0^+} \omega_a(t) \log(1/t) < \infty $ を満たすならば、最小化子の勾配は Hölder 連続である。
• (p,q)-二相型の場合、最適な条件は $ q/p \leq 1 + \alpha/n $ かつ $ a(\cdot) \in C^{0,\alpha}(\Omega) $ であり、これは Lavrentiev ギャップの意味で鋭い。
• 境界付近二相型の場合、$ \Psi(x,t) = |z|^p + a(x)|z|^p \log(1 + |z|) $ に対して、$ \omega_a(t) \lesssim t^\alpha $（ある $ \alpha \in (0,1) $）が成り立つならば、Hölder 連続性が成立する。
• 最小化子 $ u \in L^\kappa(\Omega) $（ある $ \kappa > 1 $）ならば、最適な成長および連続性条件の下で、任意の $ \Omega_0 \Subset \Omega $ に対して $ u \in C^{0,\gamma}(\Omega_0) $ となることが証明された。ここで $ \gamma \in (0,1) $ はデータに依存する。
• Musielak-Orlicz 空間において、係数関数の連続性モジュラスに依存する定数を持つ、新しい Sobolev-Poincar\'e 不等式を確立した。
• 複数の係数関数 $ a_k(\cdot) $ を持つ多相型問題へと結果を拡張し、類似の連続性および成長条件の下で、同じ正則性閾値が成立することを証明した。