[논문 리뷰] Regularity of Local times associated to Volterra-Lévy processes and path-wise regularization of stochastic differential equations

Fabian A. Harang, Chengcheng Ling|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 볼테라-레비 과정의 국소 시간의 거의 확실한 공간적 정규성을 확립하며, 이 정규성이 볼테라 커널의 특이성과 반비례함을 보여준다. 이를 통해 이는 소음에 의한 정규화를 통해, 비가역성 있는 드리프트를 가진 미분방정식의 경로별 존재성, 유일성 및 미분 가능성까지도 입증한다. 이는 스트로스틱 시잉 렘마와 비선형 양의 적분을 통해 이루어지며, 드리프트가 베소프-분포일 경우에도 적용 가능하다.

ABSTRACT

We investigate the space-time regularity of the local time associated to Volterra-Lévy processes, including Volterra processes driven by $α$-stable processes for $α\in(0,2]$. We show that the spatial regularity of the local time for Volterra-Lévy process is $P$-a.s. inverse proportionally to the singularity of the associated Volterra kernel. We apply our results to the investigation of path-wise regularizing effects obtained by perturba\Ption of ODEs by a Volterra-Lévy process which has sufficiently regular local time. Following along the lines of [15], we show existence, uniqueness and differentiablility of the flow associated to such equations.

연구 동기 및 목표

• 볼테라-레비 과정과 관련된 공간-시간 정규성을 조사한다. 이는 α ∈ (0,2] 인 α-스테이블 레비 과정에 의해 구동되는 경우를 포함한다.
• 국소 시간의 공간적 정규성이 거의 확실하게 볼테라 커널의 특이성과 반비례함을 입증한다.
• 정규성 결과를 적용하여, 비정규적인 드리프트를 가진 볼테라-레비 과정에 의해 흔들리는 미분방정식의 경로별 존재성, 유일성 및 미분 가능성 증명한다.
• 비가우시안, 비마르코프 볼테라-레비 과정으로까지 소음에 의한 정규화 현상을 확장한다. 이는 스트로스틱 시잉 렘마와 비선형 양의 적분을 통해 이루어진다.

제안 방법

• 볼테라-레비 과정에 특화된 국소 비결정성 조건을 수립하여 국소 시간의 정규성을 제어한다.
• 스트로스틱 시잉 렘마를 적용하여 국소 시간의 소볼레프 정규성을 증명한다. 이는 커널의 특이성과 레비 과정의 성질을 활용한다.
• 임bedding 정리를 사용하여 국소 시간이 넓은 범위의 베소프 공간에 속함을 유도한다.
• 국소 시간이 충분히 정규적일 경우, dx_t = b(x_t)dt + dz_t 형태의 미분방정식의 경로별 존재성과 유일성을 보여줌으로써, 볼테라-레비 과정 z_t가 충분한 정규화를 제공함을 입증한다.
• b가 베소프-분포이고 z의 국소 시간이 정규적일 경우, ∫b(x_s)dz_s 적분을 다루기 위해 비선형 양의 적분 이론을 사용한다.
• 초기 조건 ξ에 대한 흐름 맵 ξ ↦ x_t(ξ)의 존재성과 미분 가능성 증명을 위해 하올더 유사 공간에서의 수축 사상 기반 고정점 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼테라 커널의 특이성은 볼테라-레비 과정의 국소 시간의 공간적 정규성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 소음에 의한 정규화 현상은 가우시안 과정을 초월하여 비가우시안, 비마르코프 볼테라-레비 과정으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ3 볼테라-레비 과정의 국소 시간이 존재하고 충분한 정규성을 갖추기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 어느 정도로 드리프트 b가 비정규적일 수 있는가 (예: 베소프 공간의 분포일 경우), 여전히 볼테라-레비 과정에 의해 흔들린 경우에 대해 유일하고 미분 가능한 해를 가질 수 있는가?
• RQ5 스트로스틱 시잉 렘마는 비가우시안 볼테라 과정의 국소 시간 정규성 증명에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 볼테라-레비 과정과 관련된 국소 시간은 거의 확실하게 공간적으로 정규적이며, 정규성은 볼테라 커널의 특이성과 반비례한다.
• 국소 시간은 소볼레프 공간에 속하며, 임베딩을 통해 넓은 범위의 베소프 공간에 속함을 보여주어 통합 목적에 필요한 충분한 부드러움을 확보한다.
• 볼테라-레비 과정 z의 국소 시간이 충분히 정규적일 경우, dx_t = b(x_t)dt + dz_t 형태의 미분방정식은 b가 베소프-분포일지라도 경로별로 고유한 해를 가진다.
• 국소 시간 z가 충분히 정규적일 경우, 흐름 맵 ξ ↦ x_t(ξ)는 초기 조건 ξ에 대해 무한번 미분 가능하다.
• 스트로스틱 시잉 렘마는 비가우시안 볼테라 과정의 국소 시간 정규성 증명에 성공적으로 적용되었으며, 이는 이전의 가우시안 케이스 결과를 확장한다.
• 하올더 유사 공간에서의 수축 사상에 기반한 고정점 정리는 경로별 유일성과 해의 존재성을 확인한다. 이 경우 수축 상한은 피적분자의 도함수가 유계이므로 초기 조건과 무관하다.