[論文レビュー] Regularity of the drift and entropy of random walks on groups

Lorenz A. Gilch, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限生成群、特に自由群、自由積、双曲群における確率ウォークの漸近エントロピー $h_p$ および線形ドリフト $\ell_p$ の正則性を調査する。変分原理とグロモフ境界における境界作用を用いて、$h_p$ の実解析的性質および $p$ に関する $h_p$ と $\ell_p$ のリプシッツ連続性を、有限台を持つ場合に確立する。特に、双曲群における対称測度では、より強い $C^1$ 正則性が得られる。

ABSTRACT

Random walks on a group $G$ model many natural phenomena. A random walk is defined by a probability measure $p$ on $G$. We are interested in asymptotic properties of the random walks and in particular in the linear drift and the asymptotic entropy. If the geometry of the group is rich, then these numbers are both positive and the way of dependence on $p$ is itself a property of $G$. In this note, we review recent results about the regularity of the drift and the entropy for free groups, free products and hyperbolic groups.

研究の動機と目的

• 群上の確率ウォークにおける漸近エントロピー $h_p$ および線形ドリフト $\ell_p$ が、駆動確率測度 $p$ に依存する仕組みを理解すること。
• さまざまな群のクラスにおいて、$h_p$ および $\ell_p$ が $p$ の関数として示す正則性（解析的、リプシッツ、$C^1$）を特定すること。
• グロモフ境界 $\partial G$ 上の定常測度を用いた、$h_p$ および $\ell_p$ の変分的特徴づけを拡張すること。
• 非可換および双曲的設定において、$h_p$ および $\ell_p$ が $p$ に対して滑らかに変化する条件を確立すること。

提案手法

• 変分原理の使用：$h_p = \max \{ h_p(X,\nu) \}$ において、$G$-空間 $X$ および $p$-定常測度 $\nu$ を変動させる。
• 境界積分による $h_p$ の表現：$h_p = \sum_{g\in B} \int_{\partial G} \varphi_p(g,\xi) \, d\nu_p(\xi) \, p(g)$ で、ここで $\varphi_p(g,\xi)$ はブーセマンコサイクルである。
• 境界作用をモデル化するためのバウゼマンコンパクト化 $\overline{G}$ およびホロ関数 $\xi$ の適用。
• 無限遠におけるハルナック不等式と双曲的性質を活用し、$\varphi_p$ および $\nu_p$ の正則性を制御する。
• グリーン距離およびその双曲的性質を用いて、測度およびコサイクルの微分可能性を証明する。
• キングマンの部分加法的エルゴード定理を応用し、$\ell_p$ および $h_p$ が極限として存在することを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群において、確率測度 $p$ の関数として漸近エントロピー $h_p$ はどのように変化するか？
• RQ2 双曲群において、有限台を持つ場合、線形ドリフト $\ell_p$ は $p$ に関して実解析的か？
• RQ3 コアーマクト・フクシアン群において、$h_p$ および $\ell_p$ が満たす正則性特性（解析的、リプシッツ、$C^1$）は何か？
• RQ4 双曲群における対称測度に対して、写像 $p \mapsto h_p$ が $C^1$-滑らかであることを示せるか？
• RQ5 $\mathcal{P}^1(G)$ の全空間上での $h_p$ の正則性は何か？（一階モーメントが有限な測度の空間）

主な発見

• 有限台 $B$ を持つ自由群では、写像 $p \mapsto h_p$ は $\mathcal{P}(B)$ 上で実解析的である。
• 平面的表示を持つコアーマクト・フクシアン群では、写像 $p \mapsto \ell_p$ は $\mathcal{P}(B)$ 上で実解析的である。
• 一般の双曲群で有限台を持つ場合、$p \mapsto h_p$ および $p \mapsto \ell_p$ は $\mathcal{P}(B)$ 上でリプシッツ連続である。
• 双曲群における対称測度に対して、$p \mapsto h_p$ は空間 $\mathcal{P}_\sigma(B)$ 上で $C^1$-滑らかである。
• 滑らかな曲線 $p_\lambda$ 沿いでの $h_p$ の微分は、$\varphi_p(g,\xi)$ および $\nu_p$ の微分を含む和として与えられる。
• 極限 $\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} \sum_{g\in B} \int (\varphi_{p_\lambda}(g,\xi) - \varphi_{p_0}(g,\xi)) \, d\nu_{p_\lambda}(\xi) \, p_\lambda(g) = 0$ が成り立ち、これは $C^1$-正則性の鍵となる。