[論文レビュー] Regularity of weak solutions of the compressible isentropic Navier-Stokes equation

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 61被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、初期密度に正の下界がない場合を含め、周期的境界条件下で次元 $N=2,3$ の圧縮可能な等エントロピーナビエ＝ストークス方程式に対する弱解の正則性と一意性を確立する。弱解が、任意に小さい $
\epsilon>0$ に対して $L^\infty(L^{(N+1+\epsilon)\gamma})$ で密度が有界である限り、正則になることを証明し、$
\rho \in L^\infty$ の場合にわずかに亜臨界的な初期データにおいて爆発が発生することを示す。解析は、リーマン変換と圧力項を含む高度な $L^p(L^q)$ 評価および交換子評価に依存する。

ABSTRACT

Regularity and uniqueness of weak solution of the compressible isentropic Navier-Stokes equations is proven for small time in dimension $N=2,3$ under periodic boundary conditions. In this paper, the initial density is not required to have a positive lower bound and the pressure law is assumed to satisfy a condition that reduces to $γ>1$ when $N=2,3$ and $P(ρ)=aρ^γ$. In a second part we prove a condition of blow-up in slightly subcritical initial data when $ρ\in L^{\infty}$. We finish by proving that weak solutions in $\T^{N}$ turn out to be smooth as long as the density remains bounded in $L^{\infty}(L^{(N+1+\e)γ})$ with $\e>0$ arbitrary small.

研究の動機と目的

• 次元 $N=2,3$ の周期的境界条件下で、圧縮可能な等エントロピーナビエ＝ストークス方程式に対する弱解の存在、正則性、および一意性を確立すること。
• 初期密度に正の下界が存在しないという仮定を排除し、真空中の形成を許容すること。
• わずかに亜臨的な初期データにおける解の爆発を、密度の $L^\infty$ ノルムの増大度に従って特徴付けること。
• 任意に小さい $
  \epsilon>0$ に対して密度が $L^\infty(L^{(N+1+\epsilon)\gamma})$ に有界である限り、弱解が正則になることを証明すること。
• $\gamma>1$ の場合に $P(\rho) = a\rho^\gamma$ を満たす圧力則が $N=2,3$ で成り立つ場合、$\gamma$ が 1 に近い場合でさえも正則性理論を拡張すること。

提案手法

• 圧力項 $P(\rho)$ に対する $L^p(L^q)$ 評価を用い、特にコイフマン＝マイヤー理論を用いて交換子 $[(\Lambda^{-1}(P(\rho))_j, R_i R_j](\rho u_i)$ を分析する。
• リーマン変換とカルデロン＝ジムンド理論を用いて、速度および密度勾配の正則性を制御する。
• ガラッガルド＝ニレングベルクの不等式を用いて $\sqrt{t}\dot{u}$ を $L^2(L^3)$ で制御し、ジェルマンの一意性結果を適用する上で不可欠な条件を満たす。
• 密度の可積分性とコンパクトネスを獲得するため、ブレスチ＝デシュルダン（BD）エントロピー不等式に依存する。
• 時間重み付きエネルギー評価を $\sigma(t)$ と $f(t)$ を用いて行い、$\sqrt{t}\nabla u$、$\sqrt{t}\dot{u}$、$\sqrt{t}\nabla \dot{u}$ を $L^2$ 空間で制御する。
• P. ジェルマン [31] の一意性結果を適用するため、$\nabla \rho$ および $\nabla u$ が $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+, B^{1+\epsilon}_{N,\infty})$ に属するという条件を満たしていることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度に正の下界がない場合に、圧縮可能な等エントロピーナビエ＝ストークス方程式の弱解が正則性を保つための条件は何か？
• RQ2 初期データが真空中から離れていない場合に、弱解の一意性を確立できるか？
• RQ3 密度の $L^\infty(L^{(N+1+\epsilon)\gamma})$ ノルムが弱解の正則性を保証する上で果たす正確な役割は何か？
• RQ4 密度の $L^\infty$-ノルムの増大度と、わずかに亜臨的な初期データにおける正則性の崩壊の関係は何か？
• RQ5 圧力構造 $P(\rho) = a\rho^\gamma$ で $\gamma>1$ の場合、解の正則性および爆発挙動に与える影響はどの程度か？

主な発見

• 初期密度に正の下界がない場合を含め、$\rho \in L^\infty(L^\infty)$ であると仮定した下で、圧縮可能な等エントロピーナビエ＝ストークス方程式の弱解が $[0,T_0]$ で一意的かつ正則的であることが示された。
• 解はエネルギー不等式 (1.4) および時間重み付き評価 (7.90) と (7.91) を満たし、$\sqrt{t}\nabla u \in L^\infty_T(L^2)$ および $\sqrt{t}\dot{u} \in L^2_T(L^3)$ を含むが、これらは一意性に不可欠である。
• ジェルマンの一意性定理 [31] の条件を満たしていることを確認することで、解は $[0,T_0]$ で一意的であり、正則性の伝播により $[T_0, \infty)$ に一意的に拡張可能であることが証明された。
• $\rho \in L^\infty(L^{(N+1+\epsilon)\gamma})$ が任意に小さい $
  \epsilon>0$ に対して成り立つならば、弱解が正則になることが示され、鋭い正則性基準が確立された。
• 本稿では、$
  \rho_0 \in L^\infty$ の場合に、わずかに亜臨的な初期データにおいて爆発が発生することを証明し、密度の $L^\infty$-ノルムが正則性の崩壊の臨界的指標であることを確認した。
• 条件 $q > 3(\gamma+1)$ が交換子項を制御し、$\log \rho \in L^\infty$ を保証するために必要であり、これにより $\rho \in L^\infty$ および $1/\rho \in L^\infty$ が導かれることが分析で確認された。