[논문 리뷰] Regularity properties of infinite-dimensional Lie groups, and semiregularity

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 3인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 국소凸 공간 위에 모델링된 무한차원 리군에서 $C^k$-정규성과 $C^k$-반정규성에 대한 충분조건을 설정한다. $ \operatorname{evol}$ 이 $C^m$임과 $ \operatorname{Evol}$ 이 $C^m$임이 동치임을 증명하고, 이를 통해 임의의 분할가능한 유한차원 미분가능 다성분 $M$에 대해 $ \operatorname{Diff}(M)$ 이 $C^1$-정규임을 보이며, 컴acts한 실해석적 $M$에 대해 $ \operatorname{Diff}^\omega(M)$ 가 $C^1$-정규임을 보인다. 주요 기여는 점을 분리하는 매끄러운 준동형사상과 바나흐 부분공간에서의 진화 연속성에 기반한 일반적인 정규성 기준이다.

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

연구 동기 및 목표

• 국소凸 공간 위에 모델링된 무한차원 리군에서 $C^k$-정규성과 $C^k$-반정규성에 대한 충분조건을 설정하는 것.
• 진화 사상 $\operatorname{evol}$ 과 사상 $\operatorname{Evol}$ 의 매끄러움 사이의 관계를 명확히 하여, $C^m$-정규성에서 이들이 동치임을 보이는 것.
• 모든 분할가능한 유한차원 미분가능 다성분 $M$에 대해 $ \operatorname{Diff}(M)$ 이 $C^1$-정규임을 증명하는 것, 즉 $\sigma$-콤���이 아닐 수도 있음에도 불구하고.
• 콤팩트 실해석적 다성분 $M$ 위에서 실해석적 미분가능 변환군 $ \operatorname{Diff}^\omega(M)$ 의 $C^1$-정규성을 확립하는 것.
• 일반적으로 비-맥케이-완비 모델링 공간에서는 정규성이 실패함을 보이며, 고전적 올림프팅 및 분류 성질에 대한 반례를 제공하는 것.

제안 방법

• 왼쪽 불변 미분방정식 $\eta'(t) = \eta(t)\cdot\gamma(t)$, $\eta(0) = e$ 의 해가 존재하고 $C^{k+1}$-매끄럽다는 것을 통해 $C^k$-반정규성을 정의한다.
• 프레셰 유형 공간에서 국소 $C^m$-매끄러움 추론을 사용하여 $ \operatorname{evol}$ 이 $C^m$임과 $ \operatorname{Evol}$ 이 $C^m$임이 동치임을 증명한다.
• 리 대수가 실로바 공간(즉, 포함 사상이 컴팩트한 바나흐 공간들의 직접극한)인 리군 이론을 적용한다.
• 점들을 분리하는 $C^0$-정규 리군으로의 매끄러운 준동형사상의 가닥을 사용하여 $G$ 의 정규성을 유도한다.
• 오른쪽 진화 사상과 대칭성 $ \operatorname{Evol}(-\gamma)^{-1}$ 을 적용하여 왼쪽 진화에서 오른쪽 진화로 결과를 확장한다.
• 맥케이 완비성의 대체로 약한 적분 존재 조건을 사용하여, 정규성과 진화 연속성과의 연결을 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리군 $G$ 가 국소凸 공간 위에 모델링되어 있을 때, $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ 가 매끄럽게 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비-맥케이-완비 설정에서 $C^k$-반정규성이 $C^k$-정규성으로 이어지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 분할가능한 유한차원 미분가능 다성분 $M$ 에 대해 $ \operatorname{Diff}(M)$ 이 $C^1$-정규인가, 즉 $M$ 이 $\sigma$-콤팩트가 아닐 수도 있음에도 불구하고?
• RQ4 콤팩트 실해석적 다성분 $M$ 에서 실해석적 미분가능 변환군 $ \operatorname{Diff}^\omega(M)$ 에 대해 $C^1$-정규성이 확립될 수 있는가?
• RQ5 비-정규 리군이 비-맥케이-완비 공간 위에 모델링되어 있을 경우, 1-매개변수 부분군 존재성 및 단일 연결 리군의 유일성과 같은 고전적 성질이 실패하는가?

주요 결과

• $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ 가 $C^m$임과 $ \operatorname{Evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to C^{k+1}([0,1], G)$ 가 $C^m$임이 동치임을 보이며, 이는 정규성과 평가 사상 사이의 기본적 동치관계를 확립한다.
• 모든 분할가능한 유한차원 미분가능 다성분 $M$ 에 대해 $ \operatorname{Diff}(M)$ 이 $C^1$-정규임을 증명하며, $M$ 이 $\sigma$-콤팩트일 필요가 없음에도 불구하고 이전 결과를 확장한다.
• 모든 콤팩트 실해석적 다성분 $M$ 에 대해 $ \operatorname{Diff}^\omega(M)$ 가 $C^1$-정규임을 보이며, 점을 분리하는 준동형사상과 바나흐 부분공간에서의 진화 연속성에 의해 이를 증명한다.
• 비-맥케이-완비 공간 위에 모델링된 1-연결 아벨 리군 중에서 표준 정규성 결과가 실패하는 예가 존재한다: 비자명한 1-매개변수 부분군이 존재하지 않으며, 분류도 실패한다.
• $G$ 가 $C^0$-반정규이고, 점들을 분리하는 매끄러운 준동형사상이 $C^0$-정규 리군으로 존재하며, $ \mathfrak{g}$ 가 순서완비일 경우, $0$ 에서의 연속적 $ \operatorname{evol}$ 존재는 $ \operatorname{evol}$ 의 매끄러움을 암시한다.
• 국소凸 공간의 덧셈군은 오직 맥케이 완비일 때에만 정규이며, 이 성질은 $C^r$-곡선에 대한 약한 적분 존재와 동치이다.