[論文レビュー] Regularity results for a class of obstacle problems with $p,q-$growth conditions

Michele Caselli, Michela Eleuteri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、エネルギー密度における非標準的(p,q)-成長条件を満たす障害問題の解について、障害物および係数の弱い正則性仮定のもとで、局所リプシッツ連続性を確立する。主な貢献は、(p,q)-成長および空間変数へのソボレフ型依存を満たす非退化・非自己同型の汎関数に対する変分不等式の新たな正則性結果であり、古典的結果をより正則性の低い設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we prove the local boundedness as well as the local Lipschitz continuity for solutions to a class of obstacle problems of the type $$\min\left\{\int_Ω{F(x, Dz)}: z\in \mathcal{K}_ψ(Ω) ight\}.$$ Here $\mathcal{K}_ψ(Ω)$ is set of admissible functions $z \in W^{1,p}(Ω)$ such that $z \ge ψ$ a.e. in $Ω$, $ψ$ being the obstacle and $Ω$ being an open bounded set of $\mathbb{R}^n$, $n \ge 2$. The main novelty here is that we are assuming $ F(x, Dz)$ satisfying $(p,q)$-growth conditions {and less restrictive assumptions on the obstacle with respect to the existing regularity results}.

研究の動機と目的

• エネルギー密度における非標準的(p,q)-成長条件を満たす障害問題の解の局所リプシッツ連続性を確立すること。
• 障害物ψに関する仮定を緩和し、従来の研究よりも正則性が低い場合でも解の正則性が保証されることを可能にすること。
• 空間変数xに関するソボレフクラスの依存を有する非自己同型汎関数F(x,ξ)に対して、正則性理論を(p,q)-成長の下で拡張すること。
• 特に、ψが局所的に有界である場合に、障害物に関するより弱い仮定のもとで解の局所有界性を確立すること。

提案手法

• Sobolev空間における事前推定に依拠し、(p,q)-成長条件の構造およびFξξの強凸性を用いる。
• 主要な技術的道具は、W1,q0(Ω)における適切な試行関数を用いた切り捨て操作と変分不等式への代入である。
• 近似列における極限に移行するために、ブロー・アップ法とコンパクト性を用いる。ここで、DuのLnp/(n−2)loc(Ω)における有界性を活用する。
• 被積分関数F(x,ξ) = f(x,|ξ|)の構造を活用し、ξに関するC2滑らかさおよび(F1)–(F3)による成長制御を仮定して、事前推定を導出する。
• Sobolev埋め込み定理とr > 1 / (1 + 1/n − q/p)の仮定を用いて、勾配の可積分性を制御し、極限における収束を保証する。
• 近似と[26]の正則性結果の使用により、変分不等式(1.3)の正当性が保証され、最小化子がEuler–Lagrange不等式を満たすことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被積分関数F(x,ξ)および障害物ψにどのような条件下で、障害問題の解の局所リプシッツ連続性を保証できるか？
• RQ2 エネルギー密度に(p,q)-成長が現れる場合、解の正則性は障害物ψの正則性にどのように依存するか？
• RQ3 非標準的(p,q)-成長および弱い係数正則性のもとで、古典的変分不等式(1.3)が最小化子に対して正当化可能か？
• RQ4 パラメータrは勾配の可積分性および事前推定の正当性に果たす役割は何か？

主な発見

• 勾配依存係数h(x)がLrloc(Ω)に属し、r > 1 / (1 + 1/n − q/p)を満たす限り、(p,q)-成長条件下で障害問題の解は局所リプシッツ連続である。
• 障害物ψはW2,χloc(Ω)に属し、χ ≥ 2q − pとできる。これは、従来の研究で要求されていた条件よりも厳しくない。
• 障害物ψが局所的に有界であると仮定すれば、非標準的成長を有する広範な変分不等式のクラスに対して、解の局所有界性が確立される。
• 証明では、変分不等式における項IIがε → 0のとき0に収束することを示し、極限に移行して変分不等式(1.3)が回復されることを可能にする。
• 条件r > 1 / (1 + 1/n − q/p)により、2q − p < rが保証され、これは勾配の可積分性および近似列の収束に不可欠である。
• 退化系(p = q)の場合でも、障害物および係数に関する仮定を弱める中で、古典的正則性結果が回復される。