[论文解读] Regularity Structures on Manifolds and Vector Bundles

Martin Hairer, Harprit Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2023

Advanced Mathematical Modeling in EngineeringComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文将正则性结构理论推广至黎曼流形上的奇异随机偏微分方程，解取值于向量丛。论文引入了一个几何框架，利用喷丛、分次结构及适配模型，结合联络与度量，实现了对空间-时间白噪声驱动的次临界SPDE的处理，其中重整化程序在高维情况下可能依赖于曲率。

ABSTRACT

We develop a generalisation of the original theory of regularity structures, [Hai14], which is able to treat SPDEs on manifolds with values in vector bundles. Assume $M$ is a Riemannian manifold and $E o M$ and $F^i o M$ are vector bundles (with a metric and connection), this theory allows to solve subcritical equations of the form $$ \partial_t u + \mathcal{L}u = \sum_{i=0}^m G_i(u, abla u,\ldots, abla^n u)ξ_i\ , $$ where $u$ is a (generalised) section of $E$, $\mathcal{L}$ is a uniformly elliptic operator on $E$ of order strictly greater than $n$, the $ξ_i$ are $F^i$-valued random distributions (e.g. $F^i$-valued white noises), and the $G_i:E imes TM^*\otimes E imes\ldots imes (TM^*)^{\otimes n} \otimes E o L(F^i ,E)$ are local functions. We apply our framework to three example equations which illustrate that when $\mathcal{L}$ is a Laplacian it is possible in most cases to renormalise such equations by adding spatially homogeneous counterterms and we discuss in which cases more sophisticated renormalisation procedures (involving the curvature of the underlying manifold) are required.

研究动机与目标

• 将正则性结构理论推广至黎曼流形上的随机偏微分方程，解取值于向量丛。
• 构建一个几何框架，整合流形上的联络、度量与标度结构，以定义正则性结构与模型。
• 建立一个通用的分析框架，用于求解形式为 ∂tu + Lu = ∑Gi(u, ∇u, ..., ∇nu)ξi 的次临界SPDE。
• 识别何时重整化需要空间均匀的反项，以及何时需要依赖曲率的反项。
• 将该框架应用于具体方程，如流形上的几何PAM方程与Φ⁴型方程。

提出的方法

• 利用黎曼度量与相容联络在流形上引入几何标度结构，推广欧氏空间中齐次性的概念。
• 使用喷丛 J^k 构造抽象多项式的空间，配备自然包含映射 J^k ↪ J 与自然范数及分次结构。
• 通过对称集与向量丛赋值的张量积定义向量丛上的正则性结构，从而允许结构化的模型分布。
• 构造满足松弛一致性条件 Π_p Γ_p,q ≈ Π_q 的模型，将经典正则性结构框架推广至流形。
• 应用重构与奇异核的积分运算，定义模型分布并求解抽象方程。
• 在模型上引入重整化群作用，当拉普拉斯算子不足以描述时，显式导出依赖于曲率的反项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正则性结构理论推广至黎曼流形上的随机偏微分方程，且解取值于向量丛？
• RQ2 定义流形上一致正则性结构所需的几何结构（如联络、度量与标度）是什么？
• RQ3 在流形上的SPDE中，何时重整化独立于曲率，何时需要依赖曲率的反项？
• RQ4 该框架能否应用于流形上的几何SPDE，如g-PAM方程与Φ⁴方程？
• RQ5 在向量丛取值分布的流形设定下，重构与积分算子的行为如何？

主要发现

• 该理论成功将正则性结构推广至黎曼流形上的向量丛，实现了对具有空间-时间白噪声的次临界SPDE的求解。
• 在紧致2-流形上的g-PAM方程中，即使存在非平凡几何，仅使用空间均匀反项的重整化已足够。
• 在4-流形上，方程 ∂tu + Δu = u² + ξ 需要额外一个与数量曲率成比例的反项，表明重整化具有曲率依赖性。
• 在2-或3-流形上，具有向量丛上广义拉普拉斯算子的Φ⁴型方程可通过重整化求解，其不变测度在形式上由具有双阱势的吉布斯测度给出。
• 该框架允许对流形上的模型分布与重构进行系统处理，且与奇异核的积分保持一致。
• 通过使用对称集与向量丛赋值的张量积，实现了正则性结构的范畴化与代数化表述，推广了欧氏情形。