[論文レビュー] Regularization and minimization of Haefliger structures of codimension one

Gaël Meigniez|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次元が4以上である閉多様体上の codimension-one フォロリエーションのThurstonのh-原理について、Matherのホモロジー同値性を用いずに、正則化および最小化技術を用いて、すべての葉が稠密である最小フォロリエーションを構成的に得る初等的証明を提供する。主な結果は、オイラー特徴標数が0であるような任意のこのような多様体が、最小な滑らかなcodimension-one フォロリエーションをもつことである。

ABSTRACT

We prove the existence of a minimal (all leaves dense) foliation of codimension one, on every closed manifold of dimension at least 4 whose Euler characteristic is null, in every homotopy class of hyperplanes distributions, in every homotopy class of Haefliger structures, in every differentiability class, under the obvious embedding assumption. The proof uses only elementary means, and reproves Thurston's existence theorem in all dimensions. A parametric version is also established.

研究の動機と目的

• 次元≥4におけるcodimension-one フォロリエーションのThurstonのh-原理を、Matherのホモロジー同値性を用いずに、初等的かつ構成的証明すること。
• 次元が4以上である閉多様体上に、すべての葉が稠密である最小フォロリエーションを構成すること。
• 境界を持つ多様体に対してもh-原理を拡張し、最小性およびフォロリエーションのホモトピー型を保つこと。
• Lawsonの古典的問題を解決し、Novikovの閉葉定理の高次元版に関する予想を反証すること。
• すべての次元≥4の閉で連結な多様体が、オイラー特徴標数が0ならば、最小フォロリエーションをもつことの証明。

提案手法

• 与えられた${\Gamma_{1}}$-構造を一般的なホモトピーによって、制御された特異点をもつモース特異フォロリエーションに変形する。
• 局所的な渦巻きを用いて葉の genus を増加させ、最小性を達成できるように、インデックス1および2のモース特異点の対を生成する。
• その特異点を結ぶ横断的弧を形成するために、所定のベクトル場$V$に対して反対の方向を持つ疑似勾配場$\nabla\xi$を導入する。
• コンパクトな葉を導入しないように、穴を埋めるためにワームギャラリーを用いる。これにより最小性およびホモトピー型が保たれる。
• 特異点および横断的弧の近傍で$C^r$-小な同倫を適用し、フォロリエーションを滑らかにしながら$C^r$-構造を保つ。
• フォロリエーションが横断的弧を除き滑らかである近傍で、Shoshitaichviliの定理を用いて、所望の最小フォロリエーションの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≥4におけるcodimension-one フォロリエーションのThurstonのh-原理は、Matherのホモロジー同値性を用いずに、構成的に証明可能か？
• RQ2 次元が4以上である閉多様体上に、すべての葉が稠密である最小フォロリエーションを構成可能か？
• RQ3 どのような多様体の条件下で、最小な滑らかなcodimension-one フォロリエーションが存在するか？
• RQ4 境界を持つ多様体に対しても、最小性およびホモトピー型を保ちながらh-原理を拡張できるか？
• RQ5 最小フォロリエーションを用いて、Novikovの閉葉定理の高次元版に関する古典的予想を反証可能か？

主な発見

• オイラー特徴標数が0である任意の次元≥4の閉で連結な多様体は、最小で滑らかなcodimension-one フォロリエーションをもつ。
• 証明はMatherのホモロジー同値性を回避し、初等的な微分位相幾何学およびホモトピー論的技法にのみ依存する。
• 最小フォロリエーションは、モース特異点を対でキャンセルし、コンパクトな葉を生成しないように穴を埋めることで構成される。
• 相対的な場合にもh-原理が成り立つ：境界を持つ多様体において、フォロリエーションを境界に相対的に元の構造とホモトピックに保ちながら最小化可能である。
• この構成はすべての$C^r$-正則性クラス（$1 \leq r \leq \infty$）に適用可能であり、臨界領域で$C^1$-小な同倫を用いてフォロリエーションを滑らかにする。
• 本結果により、Lawsonの長年の未解決問題が解決され、高次元における最小フォロリエーションの非存在に関する予想が反証された。