[論文レビュー] Regularization of energy-dependent pointlike interactions in 1D quantum mechanics

Etienne Granet|arXiv (Cornell University)|May 22, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限範囲の1次元量子力学的ポテンシャルを構築し、零範囲極限においてエネルギー依存性結合を持つデルタ関数相互作用に収束するものである。標準的な点粒子相互作用とは異なり、これらのハミルトニアンは極限において標準的でない内積のもとでのみエルミート性を保つため、ポテンシャル位置に有限の確率振幅を持つ新たな種類の点状相互作用を可能にし、非相対論的系における不安定な束縛状態や結合定数の変化をモデル化できる。

ABSTRACT

We construct a family of hermitian potentials in 1D quantum mechanics that converges in the zero-range limit to a $\delta$ interaction with an energy-dependent coupling. It falls out of the standard four-parameter family of pointlike interactions in 1D. Such classification was made by requiring the pointlike interaction to be hermitian. But we show that although our Hamiltonian is hermitian for the standard inner product when the range of the potential is finite, it becomes hermitian for a different inner product in the zero-range limit. This inner product attributes a finite probability (and not probability density) for the particle to be exactly located at the position of the potential. Such pointlike interactions can then be used to construct potentials with a finite support with an energy-dependent coupling.

研究の動機と目的

• 有限範囲で正則かつエルミート性を持つ1次元ハミルトニアンを構築し、零範囲極限においてエネルギー依存性結合を持つ点状相互作用に収束することを目的とする。
• 標準的な1次元点状相互作用の分類（4パラメータ族）と、それとは外れる新しい相互作用の間にある顕著な矛盾を解消することを目的とする。
• このような相互作用が、標準的エルミート性を持つポテンシャルの零範囲極限として生じることを示し、極限においては標準的内積ではなく非標準的内積のもとでのエルミート性が要求されることを示すこと。
• 粒子がポテンシャル位置に局在する有限確率や不安定な二原子分子の形成といった物理的意味を明らかにすること。
• かつて相対論的または場の理論的系に特有とされてきたエネルギー依存性結合が、非相対論的1次元量子力学でも実現可能であることを示すこと。

提案手法

• a > 0 に対して標準的内積のもとでエルミート性を持つ滑らかで有限範囲のポテンシャル Va(x) を構築する。
• 零範囲極限 a → 0 を取り、波動関数の境界条件を導出し、エネルギー依存性結合を持つデルタ相互作用に収束することを示す。
• 極限 a → 0 においてハミルトニアンがエルミート性を保つように、標準的でない内積を同定する。
• 自己無撞着性方程式と漸近的解析を用いて、波動関数および固有状態がエネルギー依存性点状相互作用に収束することを証明する。
• 粒子がポテンシャルを介して相互作用する2粒子系の力学を解析し、点状束縛対が有限の確率で形成されることを示す。
• 固有状態が最小化するエネルギー関数を導出し、非標準的内積によって定義されるノルムが、粒子が正確にポテンシャル位置に存在する有限の確率を割り当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー依存性結合を持つ点状相互作用が、正則かつエルミート性を持つ1次元量子力学的ポテンシャルの零範囲極限として構築可能か？
• RQ2 なぜこのような相互作用が1次元点状相互作用の標準的4パラメータ分類から外れるのか？
• RQ3 標準的内積ではエルミート性を失うが、極限においてハミルトニアンがエルミート性を保つために必要な内積構造は何か？
• RQ4 非標準的内積が粒子がポテンシャル点に正確に存在する有限の確率を割り当てる場合、どのような物理的結果が生じるか？
• RQ5 このようなエネルギー依存性相互作用が、非相対論的系における不安定な二原子分子や結合定数の変化をモデル化できるか？

主な発見

• 正則かつエルミート性を持つポテンシャルの零範囲極限は、エネルギー依存性結合を持つデルタ相互作用を生成でき、これは1次元点状相互作用の標準的4パラメータ族とは外れる。
• 得られるハミルトニアンは、極限 a → 0 においてのみ、標準的でない内積のもとでのみエルミート性を保つ。この内積は、粒子が正確にポテンシャル位置に存在する有限の確率（確率密度ではなく）を割り当てる。
• 固有状態はデルタ相互作用に典型的な接続条件を満たすが、結合定数は状態のエネルギーに依存する。
• モデルは、点状の粒子対の形成確率が有限に保たれることを支持しており、このような対は不安定であるため、超冷却ガスにおける一時的な二原子分子のモデル化に応用可能である。
• 非相対論的1次元量子力学におけるエネルギー依存性結合は、標準的エルミート性を持つポテンシャルの正則化によって実現可能であり、かつては相対論的または場の理論的枠組みに特有とされてきたという考えを覆す。
• この構成は、エネルギー依存性結合を持つフェルミオン的δ′相互作用へ一般化可能であり、1次元におけるボーズ・フェルミ対称性の下で、2つの場合が双対的である。