[論文レビュー] Regularization of Rational Group Actions

Hanspeter Kraft|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿はアンドレ・ヴェイユの正規化定理の現代的証明を提供し、代数群 $G$ の任意の有理的作用が、$G$-多様体 $Y$ とその上の正則的 $G$-作用を用いて、有理的同値な方法で正規化可能であることを示している。さらに、$G$ の稠密な部分群がアフィン多様体 $X$ 上に正則的に作用するならば、全有理的 $G$-作用が正則的であることが示され、代数的変換群論における長年の未解決問題が解けた。

ABSTRACT

We give a modern proof of the Regularization Theorem of André Weil which says that for every rational action of an algebraic group $G$ on a variety $X$ there exist a variety $Y$ with a regular action of $G$ and a $G$-equivariant birational map $X o Y$. Moreover, we show that a rational action of $G$ on an affine variety $X$ with the property that each $g$ from a dense subgroup of $G$ induces a regular automorphism of $X$, is a regular action.

研究の動機と目的

• 代数多様体上の有理的群作用に関するアンドレ・ヴェイユの正規化定理の現代的で理解しやすい証明を提供すること。
• 有理的群作用がいつ正則的になるか、特にアフィンの場合にその条件を解明すること。
• もし代数群 $G$ の稠密な部分群 $\Gamma$ がアフィン多様体 $X$ 上で正則的に作用するならば、$X$ 上の全有理的 $G$-作用が正則的であることを示すこと。
• 非線形的かつ非連結な代数群に対しても、古典的な同値埋め込みおよび有理的幾何の結果を一般化すること。
• 有理的写像、正則性、群論的稠密性の相互作用を通じて、有理的群作用の構造を明確にすること。

提案手法

• 有理的自己同型群 $\operatorname{Bir}(X)$ にザリスキ位相を導入し、有理的群作用を $G \to \operatorname{Bir}(X)$ という多様体の形で定義すること。
• 有理的作用が双正則的になるような、$X$ の稠密な $G$-安定な開部分集合 $X_{\text{reg}} \subseteq X$ を構成すること。
• 連結代数群の同値埋め込みに関する須本の定理を応用し、$X_{\text{reg}}$ を正則的 $G$-作用を持つ多様体 $Y$ に同値的に埋め込むこと。
• $G$ の元が $X$ 上で正則的自己同型として作用する部分群 $\Gamma \subseteq G$ の稠密性を活用し、$\Gamma$ 上での正則性を $G$ 全体に拡張すること。
• 有理的関数に関する重要な補題の応用：$\phi: X \times Y \dashrightarrow Z$ が $X \times U$ 上で正則的であり、各ファイバー $\phi_x$ が $Y$ の稠密な部分集合上で正則的であるならば、$\phi$ は正則的である。
• 正則関数のテンソル積分解と線形独立性の議論を用いて、正則性の基準をグローバルに適用し、アフィンの場合に還元して作用写像の正則性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数群 $G$ の多様体 $X$ 上への有理的作用が、有理的モデル $Y$ 上で正則的 $G$-作用に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 現代的技法と明確な幾何的直観を用いて、正規化定理を再証明できるか？
• RQ3 有理的 $G$-作用がアフィン多様体上でいつ正則的になるか、特に稠密な部分群が正則的に作用する場合にその条件は？
• RQ4 群 $G$ の構造（例えば、連結性、線形性、非線形性）は、正規化の可能性にどのように影響するか？
• RQ5 部分群 $\Gamma \subseteq G$ の稠密性が、全有理的作用の正則性を強制する役割を果たすか？

主な発見

• 任意の代数群 $G$ の多様体 $X$ 上への有理的作用は、正則的 $G$-作用を持つ多様体 $Y$ への $G$-同値な有理的写像 $X \dashrightarrow Y$ を持つ。
• 正規化は、まず有理的作用が双正則的になるような $G$-安定な稠密な開部分集合 $X_{\text{reg}} \subseteq X$ を特定し、それを正則的 $G$-作用を持つ多様体 $Y$ に同値的に埋め込むことで達成される。
• もし $G$ の稠密な部分群 $\Gamma \subseteq G$ がアフィン多様体 $X$ 上で正則的自己同型として作用するならば、$X$ 上の全有理的 $G$-作用は正則的である。
• 証明は、アフィン的ターゲットを仮定したもとで、ファイバーが稠密な集合上で正則的であり、積上に定義された有理的写像が正則的であることを示す重要な補題に依存している。
• $G$ が線形的または連結であるという仮定を一切せず、古典的結果をより広い代数群のクラスにまで拡張している。
• 構成法により、有理的写像 $X \dashrightarrow Y$ が $G$-同値的かつ全射的であることが保証され、群作用構造が有理的同値性の範囲で保存される。