[論文レビュー] Regularization of sliding global bifurcations derived from the local fold singularity of Filippov systems

Carles Bonet Revés, Tere M. Seara|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可視的折りたたみ特異点近くのフィリッポフ系におけるソトマヨル＝トワイセイラ正則化を、幾何学的特異摂動理論および漸近的手法を用いて調査する。正則化された系の軌道が、グレービング・スライディングやサドルへのスライディングホモクライニック軌道といったスライディング分岐点近くでも、一般化された元のフィリッポフ系の解と指数的に近いまま保たれることを示している。このことにより、元の系の位相的構造が維持される。

ABSTRACT

In this paper we study the Sotomayor-Teixeira regularization of a general visible fold singularity of a Filippov system. Extending Geometric Fenichel Theory beyond the fold with asymptotic methods, we determine there the deviation of the orbits of the regularized system from the generalized solutions of the Filippov one. This result is applied to the regularization of some global sliding bifurcations as the Grazing-Sliding of periodic orbits or the Sliding Homoclinic to a Saddle, as well as to some classical problems in dry friction. Roughly speaking, we see that locally, and also globally, the regularization of the bifurcations preserve the topological features of the sliding ones.

研究の動機と目的

• 可視的折りたたみ特異点近くにおけるフィリッポフ系のダイナミクスが、ソトマヨル＝トワイセイラ正則化によってどのように保存されるかを理解すること。
• 漸近的およびブルームアップ技法を用いて、折りたたみ領域を超えて幾何学的フェニチェル理論を拡張すること。
• グローバルなスライディング分岐（例えばグレービング・スライディングやサドルへのスライディングホモクライニック軌道）が存在する状況下で、正則化された系の軌道とフィリッポフ一般化解との乖離を特定すること。
• 結果をドライ摩擦の古典的問題およびグレービング・スライディングやスライディングホモクライニック軌道などのグローバル分岐に適用すること。
• 正則化が、折りたたみ点における正規双曲性の喪失にもかかわらず、スライディング分岐の位相的特徴を保持することを示すこと。

提案手法

• スイッチング超曲面のε近傍で、2つのベクトル場をεパラメータ依存の滑らかな凸結合に置き換えるソトマヨル＝トワイセイラ正則化法を用いる。
• 接続点から離れた領域において、正規双曲的不変多様体を特定するために幾何学的フェニチェル理論を適用する。
• 折りたたみ特異点付近での不変多様体の乖離を記述するために、漸近展開およびリッカティ方程式の解析を用いる。
• 折りたたみ点における双曲性の喪失を解消するためのブルームアップ技法を用い、スロー多様体の挙動を解析可能にする。
• 臨界領域（v = 1付近）において変数変換および一致する漸近展開を適用し、ポアンカレ写像の挙動を導出する。
• 多様体展開における補正項の符号および漸近的挙動を分析することで、正則化系のダイナミクスとフィリッポフフローとの比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソトマヨル＝トワイセイラ正則化は、フィリッポフ系の可視的折りたたみ特異点近くでのダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ2 正則化された系の軌道が、特に折りたたみ点付近で、フィリッポフ一般化解からどれほど近いか？
• RQ3 グレービング・スライディングやスライディングホモクライニック軌道といったグローバルなスライディング分岐の位相的構造は、正則化によっても保持されるか？
• RQ4 リッカティ方程式は、折りたたみ特異点付近での不変多様体の乖離を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 漸近的展開およびブルームアップ法は、折りたたみ点におけるフェニチェル理論の崩壊をどのように解消するか？

主な発見

• 正則化された系の正規双曲的不変多様体は、リッカティ方程式に従ってスイッチング超曲面から乖離し、その乖離はεに関して指数的に小さくなる。
• 折りたたみ点付近では、正則化された系の軌道が、拡張された不変多様体の指数的小さな近傍に集中し、フィリッポフダイナミクスが維持される。
• 正則化された系のポアンカレ写像は、フィリッポフ系の場合と同じ漸近的公式を満たしており、位相的同値性が示唆される。
• フェニチェル多様体はv > 1の領域に入り、その領域から脱出できない。これは補正項n₁(v)の正の性質およびスローフローの構造による。
• 不変多様体の展開はm(x;ε) < m₀(x)およびm(x;ε) < m̄(x;ε)を満たし、近接する軌道の吸引性が保証される。
• 結果として、正則化がグレービング・スライディングやスライディングホモクライニック軌道を含むスライディング分岐の位相的特徴を、グローバルにわたっても保持することが確認された。