[논문 리뷰] Regularization with Metric Double Integrals of Functions with Values in a Set of High-Dimensional Vectors

René Ciak, Melanie Hirzmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 19.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 35인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고차원 벡터 집합을 값으로 가지는 함수를 포함하는 변분 역문제 및 영상 문제에 대해 유도 없이 정규화 기능을 제안한다. 이는 Bourgain 등이 제안한 소볼레프 반노름 근사화의 일반화로, 벡터 값 함수에 대해 최소화자 존재성과 안정성 및 수렴성을 증명한다.

ABSTRACT

We present an approach for variational regularization of inverse and imaging problems for recovering functions with values in a set of vectors. We introduce regularization functionals, which are derivative-free double integrals of such functions. These regularization functionals are motivated from double integrals, which approximate Sobolev semi-norms of intensity functions. These were introduced in Bourgain, Brezis and Mironescu, Another Look at Sobolev Spaces. In: Optimal Control and Partial Differential Equations-Innovations and Applications, IOS press, Amsterdam, 2001. For the proposed regularization functionals we prove existence of minimizers as well as a stability and convergence result for functions with values in a set of vectors.

연구 동기 및 목표

• 고차원 벡터 집합을 값으로 가지는 함수를 포함하는 역문제 및 영상 문제를 위한 정규화 기능을 개발한다.
• 이중 적분을 통한 소볼레프 반노름 근사화를 유도 없이 정규화로 일반화한다.
• 벡터 값 설정에서 제안된 기능에 대해 최소화자 존재성을 보장한다.
• 적절한 조건 하에서 안정성 및 수렴성 성질을 확립한다.
• 거리 기반 이중 적분을 사용하여 스칼라 강도 함수에서의 이론적 보장을 벡터 값 함수로 확장한다.

제안 방법

• 함수 값 간의 거리 기반 거리 함수에 대한 이중 적분으로 정규화 기능을 제안한다.
• 명시적 도함수를 피하기 위해 거리 기반 설정을 사용하여 비연속성 또는 이산적인 벡터 값 함수에 적용 가능하게 한다.
• Bourgain, Brezis, Mironescu의 소볼레프 반노름 근사화를 위한 이중 적분 프레임워크를 벡터 값 설정으로 일반화한다.
• 데이터 적합성 항과 함께 정규화 기능을 최소화하기 위해 변분 방법을 적용한다.
• 최소화자 존재성을 증명하기 위해 컴 pact성 및 하부 연속성 추론을 사용한다.
• 정규화 매개수가 점점 줄어들 때의 渐近 분석을 통해 안정성 및 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 적분 기반 정규화는 고차원 벡터 집합을 값으로 가지는 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 벡터 값 설정에서 도함수 요구 없이 소볼레프 반노름 근사화는 어떻게 적응할 수 있는가?
• RQ3 이러한 정규화 기능에 대해 최소화자 존재성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 안정성 및 수렴성 성질은 스칼라 함수에서 벡터 값 함수로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 거리 기반 이중 적분 정규화에서 거리의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 정규화 기능은 도함수 없이 거리 이중 적분에 기반하여, 미분 가능성이 없는 벡터 값 함수의 정규화를 가능하게 한다.
• 데이터 및 함수 공간에 대한 표준 가정 하에서 제안된 정규화 기능에 대해 최소화자 존재성이 증명된다.
• 데이터 및 정규화 매개수의 변화에 대해 최소화자의 안정성이 확립된다.
• 적절한 컴 pact성 및 일致성 조건 하에서 정규화 매개수가 0으로 수렴함에 따라 최소화자의 수렴성이 입증된다.
• 거리 기반 이중 적분을 사용하여 고전적 소볼레프 반노름 근사화를 벡터 값 함수로 일반화한 프레임워크가 제안된다.
• 이론적 결과는 이중 적분 정규화의 적용 가능성을 벡터 값 해를 가진 역문제 및 영상 문제로 확장한다.