[論文レビュー] Regularized arrangements of cellular complexes

Alberto Paoluzzi, Vadim Shapiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元における細胞複体の結合のための正則化された配置アルゴリズムを提示する。トポロジーに基づいたマージ戦略を用い、線形代数的表現（LAR）を用いて細胞の断片化を最小限に抑える。この手法は、境界作用素と余境界作用素を用いて反復的にチェーン複体を構築することで、メッシュ、B-rep、ボリュームデータなどの複雑なモデルにおけるブール演算および幾何演算の効率的なGPGPU加速計算を可能にする完全な細胞分割を計算する。

ABSTRACT

In this paper we propose a novel algorithm to combine two or more cellular complexes, providing a minimal fragmentation of the cells of the resulting complex. We introduce here the idea of arrangement generated by a collection of cellular complexes, producing a cellular decomposition of the embedding space. The algorithm that executes this computation is called \emph{Merge} of complexes. The arrangements of line segments in 2D and polygons in 3D are special cases, as well as the combination of closed triangulated surfaces or meshed models. This algorithm has several important applications, including Boolean and other set operations over large geometric models, the extraction of solid models of biomedical structures at the cellular scale, the detailed geometric modeling of buildings, the combination of 3D meshes, and the repair of graphical models. The algorithm is efficiently implemented using the Linear Algebraic Representation (LAR) of argument complexes, i.e., on sparse representation of binary characteristic matrices of $d$-cell bases, well-suited for implementation in last generation accelerators and GPGPU applications.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元空間における複数の細胞複体を結合するための最小断片化アルゴリズムの開発。
• 入力された複体によって誘導される埋め込み空間の正則化された細胞分割の計算。
• メッシュやボリュームデータを含む大規模な幾何モデルにおけるブール演算および集合演算の効率的計算の実現。
• 境界作用素と余境界作用素を含む完全なチェーン複体構築によるトポロジー的推論の支援。
• LARフレームワークにおけるスパース二値特徴行列を用いたGPGPUフレンドリーな実装の提供。

提案手法

• アルゴリズムは、チェーン複体構築に基づくフィルトレーション処理を用いて、$k=0$ から $d$ まで反復的に $k$-スケルトン $X_k$ を構築することで、配置 $\mathcal{A}(\mathcal{S})$ を計算する。
• スパース二値行列として $d$-セルを格納するための線形代数的表現（LAR）を用い、効率的なスパース行列演算を可能にする。
• 境界作用素 $\partial_d$ は逆順序で計算され、$\partial_1$ から始まり、$\delta_{d-1} = \partial_d^\top$ を用いて余境界作用素 $\delta_{d-1}$ を介して $\partial_d$ まで構築される。
• トポロジー的整合性を保つために、トポロジカル・ギフト・ラッピングを用いて低次元セルから $d$-セルを同定および構築する。
• 隣接関係（例：四面体間）はスパース行列乗算 $M_d M_d^\top$ を用いて計算され、非ゼロ要素が共有する面を示す。
• すべてのセルが $d$-セルに含まれない場合にそのセルを削除することで、正則化された出力を保証し、低次元のアーチファクトを排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の細胞複体を組み合わせる際、$\mathbb{E}^d$ の細胞分割を最小限の断片化でどのように計算できるか。
• RQ2 スパースデータ構造を用いて、幾何的配置の完全なチェーン複体を効率的に表現・計算する最良の方法は何か。
• RQ3 非多様体および多様体の細胞複体を統合する際、トポロジー的整合性をどのように保てるか。
• RQ4 スパース行列演算を用いて、現代のアクセラレータ上で幾何的配置の計算を効率的に並列化できるか。
• RQ5 双対コチェーン複体は、出力配置における堅牢で完全なトポロジー的推論を可能にする役割を果たすか。

主な発見

• アルゴリズムは、境界作用素と余境界作用素を含む完全なチェーン複体 $C_\bullet$ を計算することで、正則化された細胞複体 $X = \mathcal{A}(\mathcal{S})$ を生成する。
• LARにおけるスパース特徴行列の使用により、特に隣接関係クエリのためのSpMSpM演算を介した効率的なGPGPU加速計算が可能になる。
• 3次元の四面体間の隣接関係は $M_3 M_3^\top$ を用いて計算され、非ゼロ要素が共有する三角形面を示す。
• 本手法は、線分、多角形、メッシュ、B-rep、ボリューム画像を含む広範な入力を受け入れられ、2次元および3次元の両方で有効である。
• 出力はトポロジカルに整合的かつ完全であり、すべての $k$-セル（$k=0,1,2,3$）が境界作用素を介して明示的に表現され、リンクされている。
• 本アプローチにより、生体医療構造や建築メッシュを含む複雑なモデルにおける堅牢なブール演算および集合演算が、最小限の幾何的断片化で実現可能である。