[論文レビュー] Regularized Estimation and Testing for High-Dimensional Multi-Block Vector-Autoregressive Models

Jiahe Lin, George Michailidis|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 45被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、ブロック間のGranger因果的順序を有する高次元マルチブロック自己回帰（MB-VAR）モデルを提案し、正則化最尤推定と収束保証付きの反復アルゴリズムを用いる。推定量の理論的一貫性を確立し、ブロック間のGranger因果関係を検出する仮説検定手順を開発した。合成データおよびS&P100／マクロデータ（2001–2016）で検証された。

ABSTRACT

Dynamical systems comprising of multiple components that can be partitioned into distinct blocks originate in many scientific areas. A pertinent example is the interactions between financial assets and selected macroeconomic indicators, which has been studied at aggregate level---e.g. a stock index and an employment index---extensively in the macroeconomics literature. A key shortcoming of this approach is that it ignores potential influences from other related components (e.g. Gross Domestic Product) that may exert influence on the system's dynamics and structure and thus produces incorrect results. To mitigate this issue, we consider a multi-block linear dynamical system with Granger-causal ordering between blocks, wherein the blocks' temporal dynamics are described by vector autoregressive processes and are influenced by blocks higher in the system hierarchy. We derive the maximum likelihood estimator for the posited model for Gaussian data in the high-dimensional setting based on appropriate regularization schemes for the parameters of the block components. To optimize the underlying non-convex likelihood function, we develop an iterative algorithm with convergence guarantees. We establish theoretical properties of the maximum likelihood estimates, leveraging the decomposability of the regularizers and a careful analysis of the iterates. Finally, we develop testing procedures for the null hypothesis of whether a block "Granger-causes" another block of variables. The performance of the model and the testing procedures are evaluated on synthetic data, and illustrated on a data set involving log-returns of the US S&P100 component stocks and key macroeconomic variables for the 2001--16 period.

研究の動機と目的

• 主なシステムの外側に影響を与える変数を無視する集計レベルのVARモデルの限界を是正し、バイアスが生じる推論を回避する。
• 変数がブロックに分割され、階層的かつ一方向のGranger因果的影響を有する複雑な動的システムをモデル化する。
• スパarsity仮定の下で、高次元MB-VARモデルに対する正則化最尤推定フレームワークを構築する。
• 高次元漸近的枠組みにおいて、推定量の理論的性質（一貫性および収束速度）を確立する。
• あるブロックが別のブロックをGranger因果的に誘導するかどうかを評価する形式的仮説検定手順を設計し、多変量時系列における因果推論を可能にする。

提案手法

• ブロック間で有向非巡回構造を持つ再帰的マルチブロックVARモデルを定式化し、Granger因果的順序を仮定する。
• 高次元設定におけるスパarsityを誘導するため、各ブロックの係数行列にブロックワイド正則化（例：グループlassoまたは融合lasso）を適用する。
• 正則化された対数尤度を最大化する反復最適化アルゴリズム（例：ブロック座標降下法）を考案し、収束保証を付与する。
• 正則化子の分解可能性と集中不等式を活用し、反復の挙動を分析し、誤差バウンドを導出する。
• 帰無仮説下での検定統計量の漸近的分布を用いて、ブロック間のGranger因果関係を検出する尤度比検定を構築する。
• 高次元ランダム行列理論を用いて、精度行列および分散共分散推定量の推定誤差をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元漸近的枠組みにおいて、階層的Granger因果的順序を有する高次元マルチブロックVARモデルは、一貫して推定可能か？
• RQ2 提案された正則化最尤推定量は、係数行列および精度行列に対して最適な収束速度を達成するか？
• RQ3 推定に用いられる反復アルゴリズムは、定常点に収束することが保証されるか？
• RQ4 提案された仮説検定手順は、高次元設定においてブロック間のGranger因果関係を検出するために有効か？
• RQ5 追加のブロック（例：GDP、M2）を含めることで、金融資産とマクロ経済指標間の因果関係に関する推論にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 正則化最尤推定量は、Frobeniusノルム誤差率として $ Oig( frac{ ext{log}(p_1 + p_2) + ext{log} p_2}{T}ig) $ を達成し、初期反復と同一のレートを示すため、安定した収束が確認された。
• 反復アルゴリズムは高確率でグローバルに収束し、反復の各段階における推定パラメータの誤差バウンドが一様に制御された。
• ブロック間のGranger因果関係検定統計量は、帰無仮説下で漸近的にカイ二乗分布に従い、有効な推論が可能である。
• 理論的分析により、スパarsityおよび高次元スケーリングの下で推定量が一貫していることが確認され、正則化子がブロックワイドスパarsityを促進することが分かった。
• 合成データにおける実証的評価により、真の因果構造の回復と第一種過誤率の制御が可能であることが確認された。
• S&P100株価リターンおよびマクロ経済変数（2001–2016）への応用により、マクロ経済指標が金融資産リターンに顕著なGranger因果的影響を及ぼしていることが判明し、GDPおよびM2は強い予測力を持つことが示された。